1. 在下面的数中,圈出3的倍数。
87 43 56 108 39 48 333 348 174 207 103 711
我发现:一个数各位上的数字的()是3的倍数,这个数就是3的倍数。

和

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆3的倍数的判断逻辑：判断一个数是否为3的倍数，核心是看这个数各位上数字的和是否是3的倍数。我们可以逐个计算每个数的各位数字之和，若和是3的倍数，就将该数圈出；最后根据圈出的数总结3的倍数的特征。
【解析】
1. 逐个计算并判断：
87：8+7=15，15是3的倍数，因此87是3的倍数；
43：4+3=7，7不是3的倍数，因此43不是3的倍数；
56：5+6=11，11不是3的倍数，因此56不是3的倍数；
108：1+0+8=9，9是3的倍数，因此108是3的倍数；
39：3+9=12，12是3的倍数，因此39是3的倍数；
48：4+8=12，12是3的倍数，因此48是3的倍数；
333：3+3+3=9，9是3的倍数，因此333是3的倍数；
348：3+4+8=15，15是3的倍数，因此348是3的倍数；
174：1+7+4=12，12是3的倍数，因此174是3的倍数；
207：2+0+7=9，9是3的倍数，因此207是3的倍数；
103：1+0+3=4，4不是3的倍数，因此103不是3的倍数；
711：7+1+1=9，9是3的倍数，因此711是3的倍数。
2. 圈出3的倍数：87、108、39、48、333、348、174、207、711。
3. 总结规律：一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【答案】

和
【知识点】
3的倍数的特征
【点评】
本题属于基础巩固题型，通过实际计算验证并总结3的倍数的特征，帮助学生加深对该知识点的理解与应用，提升数感。
【难度系数】
0.9

2. 判一判。(对的画“√”,错的画“×”)
(1)个位上是3,6,9的数,都是3的倍数。 …………………………… ()
(2)用1,3,5三个数字组成的三位数一定是3的倍数。 ……………… ()
(3)同时是2,3的倍数的数一定是6的倍数。 ………………………… ()
(4)一个三位数各位上的数字相同,这个数一定是3的倍数。 ………… ()

×
√
√
√

【分析】
这道题主要考查2、3的倍数特征以及公倍数的相关性质，我们可以逐个分析每个小题：
1. 第(1)题，要明确3的倍数的判断依据是各个数位上数字之和是3的倍数，而非仅看个位数字。可以举反例，比如13，个位是3，但1+3=4不是3的倍数，所以13不是3的倍数，由此判断该说法错误。
2. 第(2)题，先计算1、3、5三个数字的和：1+3+5=9，9是3的倍数。根据3的倍数特征，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，不管这三个数字如何组成三位数，数字和始终是9，所以一定是3的倍数，该说法正确。
3. 第(3)题，同时是2和3的倍数的数，意味着这个数能被2整除也能被3整除。因为2和3是互质数，它们的最小公倍数是6，所以能同时被2和3整除的数一定能被6整除，也就是6的倍数，该说法正确。
4. 第(4)题，设这个三位数的各位数字为a（a为1-9的整数），则各位数字之和为a+a+a=3a，3a是3的倍数，根据3的倍数特征，这个数一定是3的倍数，该说法正确。
【解析】
(1) 3的倍数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，例如13，个位是3，但1+3=4，4不是3的倍数，所以13不是3的倍数，因此该说法错误，画“×”。
(2) 计算1、3、5的数字和：1+3+5=9，9是3的倍数，根据3的倍数特征，无论这三个数字组成哪个三位数，各位数字之和都是9，所以这个三位数一定是3的倍数，该说法正确，画“√”。
(3) 同时是2和3的倍数的数，说明它能被2和3整除，由于2和3互质，它们的最小公倍数是6，所以这个数一定能被6整除，即一定是6的倍数，该说法正确，画“√”。
(4) 设这个三位数的各位数字为a（a为1~9的整数），则各位数字之和为3a，3a是3的倍数，根据3的倍数特征，这个数一定是3的倍数，该说法正确，画“√”。
【答案】
×；√；√；√
【知识点】
3的倍数特征；公倍数与最小公倍数；2的倍数特征
【点评】
本题重点考查了2、3的倍数特征以及公倍数的核心知识，需要准确掌握3的倍数判断的关键（各位数字之和），同时理解互质数的最小公倍数与倍数之间的逻辑关系，通过举反例、设未知数等方法可快速判断对错。
【难度系数】
0.6

3. 填一填。
(1)4□3是3的倍数,□里可以填()。

​ 2，5，8​

【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆3的倍数的核心特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。先计算已知数位上的数字之和：4+3=7，接下来要找一位数，使得7加上这个数的和是3的倍数。3的倍数中大于7且与7的差为一位数的有9、12、15，分别计算9-7=2，12-7=5，15-7=8，这些数都是符合要求的一位数，因此□里可填这几个数。
【解析】
根据3的倍数的特征：一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
1. 计算已知数字的和：4+3=7；
2. 找出满足“7+□”是3的倍数的一位数：
7+2=9，9是3的倍数；
7+5=12，12是3的倍数；
7+8=15，15是3的倍数；
因此□里可以填2，5，8。
【答案】
2，5，8
【知识点】
3的倍数的特征
【点评】
本题考查3的倍数特征的基础应用，需要学生熟练掌握该特征，通过计算数字和筛选符合条件的数字，题型基础，能帮助巩固倍数相关的核心概念。
【难度系数】
0.8

(2)301至少加上()所得的数是3的倍数,至少减去()所得的数也是3的倍数。

2
1

【分析】
要解决这道题，核心是运用3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。首先计算301各位数字的和，再看这个和距离最近的3的倍数相差多少，相差的数值就是需要加或减的数。具体思考步骤：先算出3+0+1=4，接着找大于4的最小3的倍数是6，用6减去4得到要加的数；再找小于4的最大3的倍数是3，用4减去3得到要减的数。
【解析】
1. 计算301各位数字之和：$3 + 0 + 1 = 4$。
2. 求至少加上的数：比4大的最小3的倍数是6，$6 - 4 = 2$，即301至少加上2所得的数是3的倍数。
3. 求至少减去的数：比4小的最大3的倍数是3，$4 - 3 = 1$，即301至少减去1所得的数是3的倍数。
【答案】
2；1
【知识点】
3的倍数的特征
【点评】
本题主要考查3的倍数特征的实际应用，解题关键是先求出原数各位数字之和，再结合3的倍数的判定规则确定加减的数值，题目侧重对基础知识点的运用，便于巩固对3的倍数特征的理解。
【难度系数】
0.8

(3)是3的倍数的最小两位数是(),最大两位数是()。

12
99

【分析】
要解决这个问题，首先得回忆3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
找是3的倍数的最小两位数时，我们从最小的两位数10开始依次判断：10各位数字和是1+0=1，不是3的倍数；11各位数字和是1+1=2，也不是3的倍数；12各位数字和是1+2=3，是3的倍数，所以12就是符合要求的最小两位数。
找是3的倍数的最大两位数时，从最大的两位数99开始判断：99各位数字和是9+9=18，18是3的倍数，所以99就是符合要求的最大两位数。
【解析】
1. 明确3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2. 找最小两位数：
10：1+0=1，1不是3的倍数，排除；
11：1+1=2，2不是3的倍数，排除；
12：1+2=3，3是3的倍数，确定最小两位数是12。
3. 找最大两位数：
99：9+9=18，18是3的倍数，确定最大两位数是99。
【答案】
12；99
【知识点】
3的倍数的特征
【点评】
本题主要考查对3的倍数特征的理解与运用，需要学生熟练掌握3的倍数判断方法，并能通过有序列举、判断找到符合条件的数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

(4)在24,78,56,213,390,123中,是3的倍数的有();既是3的倍数,又是2的倍数的数有();既是3的倍数,又是5的倍数的数有();同时是2,3,5的倍数的有()。

​ 24，78，213，390，123​
​ 24，78，390​
390
390

【分析】
要解决这道题，我们需要先明确2、3、5的倍数特征：
1. 3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；
2. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；
3. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。
解题思路：
第一步，先根据3的倍数特征，逐个计算题干中每个数的各位数字之和，判断是否为3的倍数，找出所有3的倍数；
第二步，从已找出的3的倍数中，根据2的倍数特征（看个位）筛选出既是3的倍数又是2的倍数的数；
第三步，从3的倍数中，根据5的倍数特征（看个位）筛选出既是3的倍数又是5的倍数的数；
第四步，同时是2、3、5的倍数需要满足三个特征：各位数字之和是3的倍数，且个位是0（因为同时是2和5的倍数的数个位必须是0），从前面的结果中找出符合的数。
【解析】
1. 判断3的倍数：
24：2+4=6，6是3的倍数，所以24是3的倍数；
78：7+8=15，15是3的倍数，所以78是3的倍数；
56：5+6=11，11不是3的倍数，所以56不是3的倍数；
213：2+1+3=6，6是3的倍数，所以213是3的倍数；
390：3+9+0=12，12是3的倍数，所以390是3的倍数；
123：1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数；
因此，3的倍数有24，78，213，390，123。
2. 从3的倍数中找既是3又是2的倍数：
个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，符合条件的有24（个位4）、78（个位8）、390（个位0），所以既是3的倍数又是2的倍数的数有24，78，390。
3. 从3的倍数中找既是3又是5的倍数：
个位是0或5的数是5的倍数，符合条件的只有390（个位0），所以既是3的倍数又是5的倍数的数有390。
4. 找同时是2、3、5的倍数：
需同时满足三个特征，个位是0且各位数字之和是3的倍数，只有390符合，所以同时是2、3、5的倍数的有390。
【答案】
24，78，213，390，123；24，78，390；390；390
【知识点】
3的倍数特征，2的倍数特征，5的倍数特征
【点评】
本题主要考查2、3、5的倍数特征的综合应用，解题关键是牢记各倍数的判断规则，先判断3的倍数，再结合2、5的倍数特征进行筛选，注意同时是2和5的倍数的数个位一定是0，可利用这一特性快速缩小判断范围。
【难度系数】
0.8

4. 五(1)班的学生人数是偶数,且在40～50之间。若每3人分一组,则全部分完,没有剩余。这个班最少有多少人? 最多有多少人?

答：40～50中，3的倍数有42,45,48，由于学生人数是偶数，因此这个班学生最少有42人，最多有48人。

【分析】
要解决这个问题，我们需要结合题目给出的三个条件逐步筛选：
1. 首先明确人数范围是40～50之间；
2. 人数是3的倍数（每3人一组全部分完，无剩余），所以先找出这个范围内3的倍数；
3. 人数是偶数，再从找到的3的倍数中筛选出偶数，最后确定其中的最小值和最大值即可。
【解析】
步骤1：找出40～50之间3的倍数。
根据3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数），可得该范围内3的倍数有：42、45、48。
步骤2：从这些数中筛选出偶数。
偶数是能被2整除的数，45是奇数，不符合条件，剩下的偶数为42、48。
步骤3：确定最少和最多人数。
在42和48中，最小的是42，最大的是48。
【答案】
这个班最少有42人，最多有48人。
【知识点】
3的倍数特征、偶数的定义
【点评】
本题综合考查了3的倍数特征和偶数的概念，需要学生结合范围条件进行逐步筛选，锻炼了学生的逻辑分析和条件整合能力，解题关键是准确把握多个条件的交集。
【难度系数】
0.8

5. 【提优挑战】$\underbrace{444···444}_{2020个4}□$是3的倍数,□里最大填几? 最小填几?

因为2020×4=8080，8+8=16，16+ (2)=18，
答：所以□里可以填2,5,8。□里最小填2，最大填8。

【分析】
要解决这个问题，我们需要利用3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。首先计算出2020个4组成的数的各位数字之和，再看加上方框里的数后，总和能被3整除，进而找出符合条件的最小和最大的一位数（方框内是个位数，范围0-9）。
【解析】
1. 计算2020个4的数字之和：$2020×4 = 8080$
2. 计算8080的各位数字之和：$8 + 0 + 8 + 0 = 16$
3. 设方框内的数为$x$（$x$为0-9的整数），需满足$16 + x$是3的倍数：
当$16 + x = 18$时，$x = 18 - 16 = 2$；
当$16 + x = 21$时，$x = 21 - 16 = 5$；
当$16 + x = 24$时，$x = 24 - 16 = 8$；
符合条件的$x$为2、5、8，其中最小的是2，最大的是8。
【答案】
□里最小填2，最大填8。
【知识点】
3的倍数的特征
【点评】
本题考查3的倍数特征的实际应用，解题关键是先准确计算出已知部分的数字和，再根据3的倍数特征确定方框内可填的数字，培养学生对倍数特征的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6