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1. 下列各式中一定是二次根式的是 （）
A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{a^2 +1}$
D.$\sqrt{x-1}$
A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{a^2 +1}$
D.$\sqrt{x-1}$
答案
C
解析
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{m}$（$m≥0$，根指数为2）的式子是二次根式，逐一分析：
1. 选项A：$\sqrt{-2}$的被开方数$-2＜0$，无意义，不是二次根式；
2. 选项B：$\sqrt[3]{3}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式；
3. 选项C：因为$a^2≥0$，所以$a^2+1≥1＞0$，被开方数恒为正，根指数为2，一定是二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{x-1}$中，当$x＜1$时，被开方数$x-1＜0$，式子无意义，不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的是选项C。
1. 选项A：$\sqrt{-2}$的被开方数$-2＜0$，无意义，不是二次根式；
2. 选项B：$\sqrt[3]{3}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式；
3. 选项C：因为$a^2≥0$，所以$a^2+1≥1＞0$，被开方数恒为正，根指数为2，一定是二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{x-1}$中，当$x＜1$时，被开方数$x-1＜0$，式子无意义，不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的是选项C。
2. 要使$\sqrt{x-2}$有意义,则$x$的值可以是 （）
A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.2
A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.2
答案
D
解析
要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，需满足被开方数为非负数，即$x-2≥0$，解得$x≥2$。逐一验证选项：0、-1、-2均小于2，不满足条件，只有2满足$x≥2$的要求。
3. 当$x＞1$时，下列式子中无意义的是（）
A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{1-x}$
C.$\sqrt{x+1}$
D.$\sqrt{x-1}$
A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{1-x}$
C.$\sqrt{x+1}$
D.$\sqrt{x-1}$
答案
B
解析
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，已知$x＞1$：
1. 对A选项：$x＞1＞0$，$\sqrt{x}$的被开方数为正，有意义；
2. 对B选项：由$x＞1$可得$1-x＜0$，被开方数为负数，$\sqrt{1-x}$无意义；
3. 对C选项：$x+1＞1+1=2＞0$，$\sqrt{x+1}$的被开方数为正，有意义；
4. 对D选项：$x-1＞0$，$\sqrt{x-1}$的被开方数为正，有意义。
因此无意义的是选项B。
1. 对A选项：$x＞1＞0$，$\sqrt{x}$的被开方数为正，有意义；
2. 对B选项：由$x＞1$可得$1-x＜0$，被开方数为负数，$\sqrt{1-x}$无意义；
3. 对C选项：$x+1＞1+1=2＞0$，$\sqrt{x+1}$的被开方数为正，有意义；
4. 对D选项：$x-1＞0$，$\sqrt{x-1}$的被开方数为正，有意义。
因此无意义的是选项B。
4. 下列各式中成立的是 （）
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{(-5)^2}=5$
C.$\sqrt{x^2}=x$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{(-5)^2}=5$
C.$\sqrt{x^2}=x$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
答案
B
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，算术平方根的结果为非负数，逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2≠-2$，不成立；
2. 选项B：$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$，成立；
3. 选项C：$\sqrt{x^2}=|x|$，当$x＜0$时结果为$-x$，不一定等于$x$，不成立；
4. 选项D：$\sqrt{(-2)^2}=2$，算术平方根结果唯一非负，不等于$\pm2$，不成立。
1. 选项A：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2≠-2$，不成立；
2. 选项B：$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$，成立；
3. 选项C：$\sqrt{x^2}=|x|$，当$x＜0$时结果为$-x$，不一定等于$x$，不成立；
4. 选项D：$\sqrt{(-2)^2}=2$，算术平方根结果唯一非负，不等于$\pm2$，不成立。
5.若$\sqrt{x+1}+\frac{1}{x-3}$有意义，则实数$x$的取值范围是（）
A.$x ＞ -1$且$x ≠ 3$
B.$x ≥ -1$且$x ≠ 3$
C.$x ≥ 1$且$x ≠ 3$
D.$x ≠ -1$且$x ≠ 3$
A.$x ＞ -1$且$x ≠ 3$
B.$x ≥ -1$且$x ≠ 3$
C.$x ≥ 1$且$x ≠ 3$
D.$x ≠ -1$且$x ≠ 3$
答案
B
解析
要使$\sqrt{x+1}+\frac{1}{x-3}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综上，实数$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综上，实数$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
6. 已知二次根式$\sqrt{x^2}$的值为4，那么$x$的值是 （）
A.4
B.16
C.$-4$
D.4或$-4$
A.4
B.16
C.$-4$
D.4或$-4$
答案
D
解析
根据二次根式的性质，可得$\sqrt{x^2}=|x|$，由题知$\sqrt{x^2}=4$，即$|x|=4$，解得$x=4$或$x=-4$。
7. 下列计算中正确的是 （）
A.$\sqrt{(-a)^2} = -a$
B.$\sqrt[3]{(-a)^3} = -a$
C.$a^3 · (-a)^2 = a^4$
D.$(-a^2)^3 = a^6$
A.$\sqrt{(-a)^2} = -a$
B.$\sqrt[3]{(-a)^3} = -a$
C.$a^3 · (-a)^2 = a^4$
D.$(-a^2)^3 = a^6$
答案
B
解析
逐一分析各选项：
1. 对于A：根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(-a)^2}=|a|$，不一定等于$-a$，A错误。
2. 对于B：根据立方根性质，对任意实数都有$\sqrt[3]{x^3}=x$，因此$\sqrt[3]{(-a)^3}=-a$，B正确。
3. 对于C：$a^3 · (-a)^2 = a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5 ≠ a^4$，C错误。
4. 对于D：$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 = -a^6 ≠ a^6$，D错误。
1. 对于A：根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(-a)^2}=|a|$，不一定等于$-a$，A错误。
2. 对于B：根据立方根性质，对任意实数都有$\sqrt[3]{x^3}=x$，因此$\sqrt[3]{(-a)^3}=-a$，B正确。
3. 对于C：$a^3 · (-a)^2 = a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5 ≠ a^4$，C错误。
4. 对于D：$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 = -a^6 ≠ a^6$，D错误。
8. 等式$\sqrt{(x-1)^2}=x-1$成立的条件是。
答案
$x≥1$
解析
解：根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，可得
$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$
因此原等式等价于$|x-1|=x-1$。
由绝对值的性质：非负数的绝对值等于它本身，可得
$x-1≥0$
解得$x≥1$
$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$
因此原等式等价于$|x-1|=x-1$。
由绝对值的性质：非负数的绝对值等于它本身，可得
$x-1≥0$
解得$x≥1$
