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【典例1】如图1，C，D为格点，在AB上画点G，使∠AGD=∠BGC.
答案
作图结果如图所示
解析
【分析】
要使∠AGD=∠BGC，可利用轴对称的性质进行角的转化：首先作点D关于直线AB的对称点D'，根据轴对称性质，直线AB上任意一点与D、D'的连线和AB的夹角相等，即∠AGD=∠AGD'；此时只需满足∠AGD'=∠BGC即可得到目标等角，而两个角为对顶角时相等，因此连接CD'，CD'与AB的交点就是所求的点G。
【解析】
1. 结合网格的方格特征，找到点D关于直线AB的对称点D'：点D在AB上方2格处，同一竖直线上AB下方2格处的格点即为D'；
2. 用无刻度直尺连接CD'，线段CD'与直线AB的交点就是要作的点G。
【答案】
作图结果如图所示
【知识点】
轴对称的性质；对顶角相等；无刻度直尺作图
【点评】
本题考查借助轴对称思想解决等角作图问题，解题关键是通过对称将待求的等角关系转化为共线时的对顶角相等关系，需要熟练掌握网格中对称点的找法，灵活运用对称性质转化问题。
【难度系数】
0.7
要使∠AGD=∠BGC，可利用轴对称的性质进行角的转化：首先作点D关于直线AB的对称点D'，根据轴对称性质，直线AB上任意一点与D、D'的连线和AB的夹角相等，即∠AGD=∠AGD'；此时只需满足∠AGD'=∠BGC即可得到目标等角，而两个角为对顶角时相等，因此连接CD'，CD'与AB的交点就是所求的点G。
【解析】
1. 结合网格的方格特征，找到点D关于直线AB的对称点D'：点D在AB上方2格处，同一竖直线上AB下方2格处的格点即为D'；
2. 用无刻度直尺连接CD'，线段CD'与直线AB的交点就是要作的点G。
【答案】
作图结果如图所示
【知识点】
轴对称的性质；对顶角相等；无刻度直尺作图
【点评】
本题考查借助轴对称思想解决等角作图问题，解题关键是通过对称将待求的等角关系转化为共线时的对顶角相等关系，需要熟练掌握网格中对称点的找法，灵活运用对称性质转化问题。
【难度系数】
0.7
变式1.如图2，A，B，C为格点，D为AC与格线的交点，在AB上画点G，使DG+CG最小（注意AC=5）。
答案
提示:BH=BC=5，
∴CH⊥AB，
CG=HG.
作图结果如图所示
解析
【分析】
本题属于最短路径作图问题，解题思路如下：①要使DG+CG最小，可利用轴对称的性质，将其中一条线段转化到AB的另一侧，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度；②根据线段垂直平分线的性质，作点C关于直线AB的对称点H，可得CG=HG，此时DG+CG=DG+HG；③根据两点之间线段最短，当H、G、D三点共线时，DG+HG的和最小，因此连接HD，HD与AB的交点就是所求的点G；④找对称点H时，利用网格特征取格点H，使BH=BC=5，此时AB垂直平分CH，满足对称点的要求。
【解析】
1. 确定解题依据：求两条线段和的最小值，通常利用轴对称变换结合“两点之间线段最短”求解；
2. 找对称点：观察网格可得BC=5，取格点H，使BH=BC=5，此时AB⊥CH，即AB是线段CH的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得CG=HG；
3. 确定点G的位置：此时DG+CG=DG+HG，要使这个和最小，根据两点之间线段最短，当H、G、D三点共线时，和最小，因此连接HD，HD与AB的交点即为所求作的点G。
【答案】
提示:BH=BC=5，
∴CH⊥AB，
CG=HG.
作图结果如图所示
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查无刻度尺下的几何作图，核心是利用轴对称将两条线段的和转化为共线时的最短距离，解题时需要结合网格特征快速确定对称点的位置，既考验对最短路径、轴对称相关性质的掌握程度，也要求学生具备一定的网格观察和运用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径作图问题，解题思路如下：①要使DG+CG最小，可利用轴对称的性质，将其中一条线段转化到AB的另一侧，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度；②根据线段垂直平分线的性质，作点C关于直线AB的对称点H，可得CG=HG，此时DG+CG=DG+HG；③根据两点之间线段最短，当H、G、D三点共线时，DG+HG的和最小，因此连接HD，HD与AB的交点就是所求的点G；④找对称点H时，利用网格特征取格点H，使BH=BC=5，此时AB垂直平分CH，满足对称点的要求。
【解析】
1. 确定解题依据：求两条线段和的最小值，通常利用轴对称变换结合“两点之间线段最短”求解；
2. 找对称点：观察网格可得BC=5，取格点H，使BH=BC=5，此时AB⊥CH，即AB是线段CH的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得CG=HG；
3. 确定点G的位置：此时DG+CG=DG+HG，要使这个和最小，根据两点之间线段最短，当H、G、D三点共线时，和最小，因此连接HD，HD与AB的交点即为所求作的点G。
【答案】
提示:BH=BC=5，
∴CH⊥AB，
CG=HG.
作图结果如图所示
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查无刻度尺下的几何作图，核心是利用轴对称将两条线段的和转化为共线时的最短距离，解题时需要结合网格特征快速确定对称点的位置，既考验对最短路径、轴对称相关性质的掌握程度，也要求学生具备一定的网格观察和运用能力。
【难度系数】
0.6
变式2.如图3,A,B为格点,在x轴上作点G,使∠AGB=2∠OAG.
答案
提示:
∵AO//BB',
∴∠OAG=∠B',
又
∵BG=B'G,
∴∠AGB=2∠B'=2∠OAG.
作图结果如图所示
解析
【分析】
要在x轴上找点G满足∠AGB=2∠OAG，可通过构造两倍角的常见思路：利用等腰三角形外角等于两个不相邻底角的和，即可得到外角是底角的2倍。首先作点B关于x轴的对称点B'，由轴对称性质可得GB=GB'，△GBB'为等腰三角形；结合AO与BB'均为竖直方向互相平行，可得内错角∠OAG=∠B'，再利用外角性质即可得到∠AGB=2∠B'=2∠OAG，因此连接AB'与x轴的交点即为所求G点。
【解析】
1. 作点B关于x轴的对称点B'：根据网格特点，保持B的横坐标不变，纵坐标取相反数即可得到格点B'；
2. 连接AB'，AB'与x轴的交点即为所求作的点G。
证明过程如下：
∵点B、B'关于x轴对称，x轴垂直平分BB'，
∴GB=GB'，
∴∠B'=∠GBB'，
∵AO⊥x轴，BB'⊥x轴，
∴AO//BB'，
∴∠OAG=∠B'（两直线平行，内错角相等），
∵∠AGB是△GBB'的外角，
∴∠AGB=∠B'+∠GBB'=2∠B'，
∴∠AGB=2∠OAG，符合题目要求。
【答案】
【知识点】
轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于网格无刻度作图题，解题的核心是利用轴对称构造等腰三角形，将两倍角的条件转化为等腰三角形外角与底角的关系，结合平行线的性质即可快速找到所求点，很好地考查了作图能力和几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要在x轴上找点G满足∠AGB=2∠OAG，可通过构造两倍角的常见思路：利用等腰三角形外角等于两个不相邻底角的和，即可得到外角是底角的2倍。首先作点B关于x轴的对称点B'，由轴对称性质可得GB=GB'，△GBB'为等腰三角形；结合AO与BB'均为竖直方向互相平行，可得内错角∠OAG=∠B'，再利用外角性质即可得到∠AGB=2∠B'=2∠OAG，因此连接AB'与x轴的交点即为所求G点。
【解析】
1. 作点B关于x轴的对称点B'：根据网格特点，保持B的横坐标不变，纵坐标取相反数即可得到格点B'；
2. 连接AB'，AB'与x轴的交点即为所求作的点G。
证明过程如下：
∵点B、B'关于x轴对称，x轴垂直平分BB'，
∴GB=GB'，
∴∠B'=∠GBB'，
∵AO⊥x轴，BB'⊥x轴，
∴AO//BB'，
∴∠OAG=∠B'（两直线平行，内错角相等），
∵∠AGB是△GBB'的外角，
∴∠AGB=∠B'+∠GBB'=2∠B'，
∴∠AGB=2∠OAG，符合题目要求。
【答案】
【知识点】
轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于网格无刻度作图题，解题的核心是利用轴对称构造等腰三角形，将两倍角的条件转化为等腰三角形外角与底角的关系，结合平行线的性质即可快速找到所求点，很好地考查了作图能力和几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
【典例2】如图4，作$AE⊥ BC$于E点，并作E点关于AC对称点F。
答案
作图结果如图所示
解析
【分析】
解题需分两步完成：第一步作AE⊥BC：首先观察网格中BC的倾斜特征，网格中互相垂直的两条线段，水平、竖直方向的格数变化满足对应关系，据此找到过点A且与BC垂直的直线，该直线与BC的交点即为E；第二步作E关于AC的对称点F：依据轴对称的性质，对称轴AC垂直平分E和其对称点F的连线，且两点到AC的距离相等，结合网格格点的特征，在AC另一侧找到与E到AC距离相等的对应点，即为F。
【解析】
1. 作AE⊥BC：观察BC的走向，BC横向移动1格、纵向移动3格，因此与BC垂直的线段需满足横向移动3格、纵向移动1格，从点A出发沿该方向画直线，与BC相交得到点E，此时AE⊥BC；
2. 作E的对称点F：根据轴对称的性质，对称点F到AC的距离与E到AC的距离相等，且EF⊥AC，数出E到AC的格距，在AC的另一侧对应位置确定点F，即得到E关于AC的对称点F。
【答案】
作图结果如图所示
【知识点】
垂线的作法；轴对称的性质；网格作图
【点评】
本题为网格无刻度作图题，考查对垂直特征、轴对称性质的应用能力，需要结合网格格点的规律定位待作点，能锻炼学生的图形观察能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.6
解题需分两步完成：第一步作AE⊥BC：首先观察网格中BC的倾斜特征，网格中互相垂直的两条线段，水平、竖直方向的格数变化满足对应关系，据此找到过点A且与BC垂直的直线，该直线与BC的交点即为E；第二步作E关于AC的对称点F：依据轴对称的性质，对称轴AC垂直平分E和其对称点F的连线，且两点到AC的距离相等，结合网格格点的特征，在AC另一侧找到与E到AC距离相等的对应点，即为F。
【解析】
1. 作AE⊥BC：观察BC的走向，BC横向移动1格、纵向移动3格，因此与BC垂直的线段需满足横向移动3格、纵向移动1格，从点A出发沿该方向画直线，与BC相交得到点E，此时AE⊥BC；
2. 作E的对称点F：根据轴对称的性质，对称点F到AC的距离与E到AC的距离相等，且EF⊥AC，数出E到AC的格距，在AC的另一侧对应位置确定点F，即得到E关于AC的对称点F。
【答案】
作图结果如图所示
【知识点】
垂线的作法；轴对称的性质；网格作图
【点评】
本题为网格无刻度作图题，考查对垂直特征、轴对称性质的应用能力，需要结合网格格点的规律定位待作点，能锻炼学生的图形观察能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.6
变式1.如图5,在AB上找点P,使∠BCP=45°,作点P关于AC的对称点Q.(BC=5)
答案
作图结果如图所示
解析
【分析】
要完成本题作图可分两步思考：①找AB上满足∠BCP=45°的点P：45°角可以通过等腰直角三角形的锐角得到，我们可以借助网格格点构造以BC为边的等腰直角三角形，得到45°角，该角的非BC边与AB的交点就是所求的P点；②作P关于AC的对称点Q：根据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，利用网格的格点对称性即可快速找到P对应的对称点Q。
【解析】
1. 找点P：在网格中找到合适的格点，构造等腰直角三角形，使得以C为顶点、BC为一边的锐角为45°，连接该角的另一边，与AB的交点即为点P；
2. 找点Q：观察AC所在直线的格点走向，找到点P沿AC折叠后能完全重合的格点，即为P关于AC的对称点Q。
【答案】
【知识点】
无刻度直尺作图，等腰直角三角形性质，轴对称的性质
【点评】
本题结合网格考查几何作图能力，需要熟练运用特殊三角形的角度特征和轴对称的性质，能有效锻炼对网格中几何图形特征的敏感度和作图实操能力。
【难度系数】
0.6
要完成本题作图可分两步思考：①找AB上满足∠BCP=45°的点P：45°角可以通过等腰直角三角形的锐角得到，我们可以借助网格格点构造以BC为边的等腰直角三角形，得到45°角，该角的非BC边与AB的交点就是所求的P点；②作P关于AC的对称点Q：根据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，利用网格的格点对称性即可快速找到P对应的对称点Q。
【解析】
1. 找点P：在网格中找到合适的格点，构造等腰直角三角形，使得以C为顶点、BC为一边的锐角为45°，连接该角的另一边，与AB的交点即为点P；
2. 找点Q：观察AC所在直线的格点走向，找到点P沿AC折叠后能完全重合的格点，即为P关于AC的对称点Q。
【答案】
【知识点】
无刻度直尺作图，等腰直角三角形性质，轴对称的性质
【点评】
本题结合网格考查几何作图能力，需要熟练运用特殊三角形的角度特征和轴对称的性质，能有效锻炼对网格中几何图形特征的敏感度和作图实操能力。
【难度系数】
0.6
变式2.如图6，作A点关于OB的对称点D，在BD上作点E使$BC=BE$.
答案
作图结果如图所示
解析
【分析】
解题需依次完成两个作图要求：①作点A关于OB的对称点D；②在BD上取点E满足BC=BE。首先回忆轴对称性质：对称轴垂直平分两个对称点的连线，观察网格可知OB为倾斜角45°的直线，点关于这类直线的对称点可结合网格对角线特征快速定位，得到D点后连接BD；再观察BC是长度为1个单位格长的水平线段，BD为竖直线段，只需从B点沿BD方向截取和BC等长的线段，即可得到所求点E。
【解析】
步骤1：根据轴对称的性质，结合OB的45°倾斜特征，找到点A关于OB的对称点D（位于网格最右列下方的格点处）；
步骤2：用无刻度直尺连接B、D两点，得到线段BD；
步骤3：观察得BC的长度为1个单位格长，在BD上从B点出发，沿BD方向截取长度为1个单位格长的线段BE，点E即为所求，最终作图完成。
【答案】
作图结果如图所示
【知识点】
轴对称的性质，网格作图，等线段截取
【点评】
本题是无刻度直尺作图的常规题型，结合轴对称性质与网格特征设计，既考察学生对轴对称性质的理解，也锻炼学生利用网格特点定位点、截取等长线段的动手操作能力。
【难度系数】
0.7
解题需依次完成两个作图要求：①作点A关于OB的对称点D；②在BD上取点E满足BC=BE。首先回忆轴对称性质：对称轴垂直平分两个对称点的连线，观察网格可知OB为倾斜角45°的直线，点关于这类直线的对称点可结合网格对角线特征快速定位，得到D点后连接BD；再观察BC是长度为1个单位格长的水平线段，BD为竖直线段，只需从B点沿BD方向截取和BC等长的线段，即可得到所求点E。
【解析】
步骤1：根据轴对称的性质，结合OB的45°倾斜特征，找到点A关于OB的对称点D（位于网格最右列下方的格点处）；
步骤2：用无刻度直尺连接B、D两点，得到线段BD；
步骤3：观察得BC的长度为1个单位格长，在BD上从B点出发，沿BD方向截取长度为1个单位格长的线段BE，点E即为所求，最终作图完成。
【答案】
作图结果如图所示
【知识点】
轴对称的性质，网格作图，等线段截取
【点评】
本题是无刻度直尺作图的常规题型，结合轴对称性质与网格特征设计，既考察学生对轴对称性质的理解，也锻炼学生利用网格特点定位点、截取等长线段的动手操作能力。
【难度系数】
0.7
以下各图，A，B，C为格点，AB＝5.
【典例3】在图7中，M为线段BC上一点，在线段AB上找一点N，使得BN＝BM.
变式1.在图8中，将△ABC绕点B逆时针旋转一定角度得△A'BC'，使BA'与BA对应，BC'与BC对应，且A'B⊥BC，作出△A'BC'.
变式2.在图9中，在BC上找点E，作AE⊥BC，再在AB上找点G，作CG＝BC.
【典例3】在图7中，M为线段BC上一点，在线段AB上找一点N，使得BN＝BM.
变式1.在图8中，将△ABC绕点B逆时针旋转一定角度得△A'BC'，使BA'与BA对应，BC'与BC对应，且A'B⊥BC，作出△A'BC'.
变式2.在图9中，在BC上找点E，作AE⊥BC，再在AB上找点G，作CG＝BC.
答案
【典例3】作图结果如图所示
变式1.作图结果如图所示
变式2.作图结果如图所示
解析
【分析】
本组题均为网格无刻度尺作图题，核心是借助网格横竖线垂直、格点线段长度可通过全等或勾股定理确定的特点，结合几何性质找点：
1. 典例3：要得到BN=BM，需在AB上截取与BM等长的线段，可通过构造全等直角三角形，利用全等三角形对应边相等的性质找到点N。
2. 变式1：根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，结合A'B⊥BC的要求，先确定竖直线段BA'的端点A'，再根据对应角、对应边相等找到C'，即可得到旋转后的三角形。
3. 变式2：作AE⊥BC可利用网格中垂直的格点连线特征找到过A且垂直BC的直线，交点即为E；再构造长度等于BC的线段CG，使其与AB交于G即可。
【解析】
典例3
第一步：观察网格确定BM的长度，构造包含BM的直角三角形，在AB一侧构造与该三角形全等的直角三角形，使对应边落在AB上；
第二步：连接对应格点，与AB的交点即为所求点N，此时BN=BM。
变式1
第一步：由旋转性质得BA'=BA=5，因BC为水平线段、A'B⊥BC，故A'B为竖直线段，从B点向上找到距离为5的格点即为A'；
第二步：旋转后BC'=BC、∠A'BC'=∠ABC，结合网格特征找到符合要求的格点C'；
第三步：顺次连接A'、B、C'，得到的△A'BC'即为所求。
变式2
第一步：作AE⊥BC：利用网格的垂直特征，找到过A点且与BC垂直的格点连线，该线与BC的交点即为E；
第二步：作CG=BC：先确定BC的长度，以C为端点构造长度等于BC的线段，该线段与AB的交点即为G。
【答案】
【典例3】作图结果如图所示
变式1.作图结果如图所示
变式2.作图结果如图所示
【知识点】
1. 网格无刻度尺作图
2. 旋转的性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题组考查网格背景下的几何作图，需要学生灵活运用垂直、等长线段、旋转的相关性质，结合网格的特点构造符合要求的图形，能有效锻炼几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本组题均为网格无刻度尺作图题，核心是借助网格横竖线垂直、格点线段长度可通过全等或勾股定理确定的特点，结合几何性质找点：
1. 典例3：要得到BN=BM，需在AB上截取与BM等长的线段，可通过构造全等直角三角形，利用全等三角形对应边相等的性质找到点N。
2. 变式1：根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，结合A'B⊥BC的要求，先确定竖直线段BA'的端点A'，再根据对应角、对应边相等找到C'，即可得到旋转后的三角形。
3. 变式2：作AE⊥BC可利用网格中垂直的格点连线特征找到过A且垂直BC的直线，交点即为E；再构造长度等于BC的线段CG，使其与AB交于G即可。
【解析】
典例3
第一步：观察网格确定BM的长度，构造包含BM的直角三角形，在AB一侧构造与该三角形全等的直角三角形，使对应边落在AB上；
第二步：连接对应格点，与AB的交点即为所求点N，此时BN=BM。
变式1
第一步：由旋转性质得BA'=BA=5，因BC为水平线段、A'B⊥BC，故A'B为竖直线段，从B点向上找到距离为5的格点即为A'；
第二步：旋转后BC'=BC、∠A'BC'=∠ABC，结合网格特征找到符合要求的格点C'；
第三步：顺次连接A'、B、C'，得到的△A'BC'即为所求。
变式2
第一步：作AE⊥BC：利用网格的垂直特征，找到过A点且与BC垂直的格点连线，该线与BC的交点即为E；
第二步：作CG=BC：先确定BC的长度，以C为端点构造长度等于BC的线段，该线段与AB的交点即为G。
【答案】
【典例3】作图结果如图所示
变式1.作图结果如图所示
变式2.作图结果如图所示
【知识点】
1. 网格无刻度尺作图
2. 旋转的性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题组考查网格背景下的几何作图，需要学生灵活运用垂直、等长线段、旋转的相关性质，结合网格的特点构造符合要求的图形，能有效锻炼几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
