1.不改变分式的值，分式$\frac{m^2 -9}{(m-3)(m+1)}$可变形为（）

A.$\frac{m-3}{m-1}$
B.$\frac{m+3}{m+1}$
C.$\frac{m+3}{m-1}$
D.$\frac{m-3}{m+1}$

B

【分析】
要解决这个问题，首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。第一步先观察分子的结构，$m^2-9$是平方差的形式，可以用平方差公式因式分解，再结合原式分母不为0的隐含条件，判断公因式不为0后，分子分母同时除以公因式即可得到化简结果。
【解析】
首先对分子因式分解，根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，可得：
$m^2-9=(m-3)(m+3)$
因此原分式可写为：
$\frac{(m-3)(m+3)}{(m-3)(m+1)}$
要使原分式有意义，分母$(m-3)(m+1)≠0$，即$m-3≠0$且$m+1≠0$。
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的整式$(m-3)$，分式的值不变，因此化简得：
$\frac{m+3}{m+1}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，分式的基本性质，分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题的关键是先正确对分子因式分解，再明确约分时必须保证所除的整式不为0，核心考察对分式基本性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

2.已知$x≠y$，下列各式与$\frac{x-y}{x+y}$相等的是（）

A.$\frac{(x-y)+5}{(x+y)+5}$
B.$\frac{2x-y}{2x+y}$
C.$\frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2}$
D.$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

C

【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。接下来逐个分析选项：先排除不符合“同乘/除同一个不为0整式”的选项，再对剩余选项的分子分母因式分解，结合题目给出的$x≠y$的条件验证是否能约分得到原式即可。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一分析选项：
A. 选项是分子、分母同时加5，不属于同乘或同除同一个不为0的整式，不符合分式基本性质，与原式不相等，排除；
B. 选项仅将分子、分母中的$x$项乘2，$y$项未做相同变化，不是同乘同一个整式，不符合分式基本性质，与原式不相等，排除；
C. 先对分母因式分解：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，已知$x≠y$，故$x-y≠0$，且原式$\frac{x-y}{x+y}$有意义，故$x+y≠0$。将该选项分子分母同时除以不为0的$(x-y)$，可得：
$\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}=\frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$，与原式相等，符合要求；
D. 分子$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分母$x^2+y^2$没有公因式可约分，无法化简为原式，排除。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题重点考查分式基本性质的正确应用，解题时要注意分式变形必须满足“分子分母同乘/除同一个不为0的整式”的要求，同时要关注题目给出的限制条件和分式本身有意义的隐含条件，避免因忽略限制条件导致判断错误。
【难度系数】
0.8

3.(1)已知$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$，求分式$\frac{2x - y}{x + 3y}$的值；
(2)已知$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$，求代数式$\frac{4x - 9y}{2x + 3y}$的值。

(1)由已知得 $x=2y$,
$\therefore 原式=\frac{4y-y}{2y+3y}=\frac{3}{5}$；
(2)由已知得 $2x=3y$,
$\therefore 原式=\frac{6y-9y}{3y+3y}=-\frac{1}{2}.$

【分析】
这是已知两个未知数的比例关系求分式值的题型，解题核心思路是消元：首先根据给出的比例关系，将其中一个未知数用另一个未知数的代数式表示，再将该表达式代入待求分式，此时分子分母均只含同一个未知数，利用分式的基本性质约掉不为0的公因式，就能求出分式的具体值。
(1)已知$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$，交叉相乘即可得到$x=2y$，代入原式计算即可；
(2)已知$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$，交叉相乘可得$2x=3y$，代入原式计算即可。
【解析】
(1) 由$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$（$x≠0$），交叉相乘得 $x=2y$，且$y≠0$，
将$x=2y$代入$\frac{2x - y}{x + 3y}$得：
$\mathrm{原式}=\frac{2×2y - y}{2y + 3y}=\frac{4y - y}{5y}=\frac{3y}{5y}=\frac{3}{5}$；
(2) 由$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$（$y≠0$），交叉相乘得 $2x=3y$，且$x≠0$，
将$2x=3y$代入$\frac{4x - 9y}{2x + 3y}$得：
$\mathrm{原式}=\frac{2×3y - 9y}{3y + 3y}=\frac{6y - 9y}{6y}=\frac{-3y}{6y}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$
【知识点】
分式的基本性质、比例的性质、代数式代入求值
【点评】
本题是分式求值的基础题型，解题关键是利用比例关系将双未知数转化为单未知数，代入后约分化简得到结果，解题时注意隐含条件：分式的分母不为0，因此公因式可直接约去，无需额外讨论。
【难度系数】
0.8

4.(1)已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$，求$\frac{a - b - 2c}{3a - 2b + c}$的值；(2)已知$x + y = 3xy$，求分式$\frac{2x + 5xy + 2y}{4xy - x - y}$的值。

(1)设$\frac{a}{2}=k$,
$a=2k,b=3k,c=4k$,
$\therefore \frac{a-b-2c}{3a-2b+c}=\frac{2k-3k-8k}{6k-6k+4k}=-\frac{9}{4}$；
(2)$原式=\frac{2(x+y)+5xy}{4xy-(x+y)}=\frac{11xy}{xy}=11.$

【分析】
(1)遇到多个字母比值相等的连等形式，可采用参数法，设公共比值为k（k≠0），将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入待求分式，约去参数k即可得到结果；
(2)已知条件给出了x+y与xy的等量关系，无需单独求解x、y的值，采用整体代入法，将待求分式中的x+y整体替换为3xy，化简后约去xy即可求出结果。
【解析】
(1)设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$。
将其代入待求分式得：
$\frac{a - b - 2c}{3a - 2b + c}=\frac{2k - 3k - 2×4k}{3×2k - 2×3k + 4k}=\frac{2k - 3k - 8k}{6k - 6k + 4k}=\frac{-9k}{4k}$
∵$k≠0$，约分可得：原式$=-\frac{9}{4}$。
(2)先对待求分式变形，将x+y看作整体：
$\frac{2x + 5xy + 2y}{4xy - x - y}=\frac{2(x + y) + 5xy}{4xy - (x + y)}$
把$x + y = 3xy$代入上式得：
原式$=\frac{2×3xy + 5xy}{4xy - 3xy}=\frac{6xy + 5xy}{xy}=\frac{11xy}{xy}$
由题意可知$xy≠0$（否则分式无意义），约分可得：原式$=11$。
【答案】
(1)$-\frac{9}{4}$；(2)$11$
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值，参数法解比例
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，分别考察了参数法处理连比问题、整体代入法处理整式和的等量关系两类常见题型，掌握这两种常用技巧就能快速准确求解，计算过程中要注意隐含的分母不为0的条件，确保约分合理。
【难度系数】
0.75

5.阅读下列材料结合分式的基本性质,利用倒数和求值.
例如:$x+\frac{1}{x}=3$,求$\frac{x}{x^2+1}$的值.
解:$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}=\frac{1}{3}$(分子,分母同时除以$x$)
仿上述方法,解决下列问题:
(1)已知$x+\frac{2}{x}=3$,则$\frac{x}{x^2 -x +2}=$;
(2)已知$x^2 -3x +1=0$,求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值;
(3)已知$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$,求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.

(1)$\frac{x}{x^2 -x +2}=\frac{1}{x-1+\frac{2}{x}}=\frac{1}{2}$；
(2)$\because x^2 -3x +1=0,\therefore x+\frac{1}{x}=3$,
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +1}=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2-2}=\frac{1}{7}$；
(3)$\because \frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5},\therefore x+\frac{1}{x}=6$,
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2-1}=\frac{1}{35}.$

【分析】
本题可利用分式的基本性质，结合倒数法求解：①若所求分式的分子为单项式、分母为多项式，且分子分母各项次数相同，可在x≠0的前提下，将分子分母同时除以x（或x²），将分式转化为含有已知条件中“x与1/x的和”的形式；②若已知条件为分式，可先对已知条件取倒数，推导得出$x+\frac{1}{x}$的值，再结合完全平方公式对所求分式变形后代入计算即可。
【解析】
(1) 由$x+\frac{2}{x}=3$可知$x≠0$，将$\frac{x}{x^2 -x +2}$的分子、分母同时除以$x$，得：
$\frac{x}{x^2 -x +2}=\frac{1}{x -1 +\frac{2}{x}}$
将$x+\frac{2}{x}=3$代入，得原式$=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$。
(2) 由$x^2 -3x +1=0$可知$x≠0$，将方程两边同时除以$x$，得：
$x -3 +\frac{1}{x}=0$，即$x+\frac{1}{x}=3$。
将$\frac{x^2}{x^4 +1}$的分子、分母同时除以$x^2$，得：
$\frac{x^2}{x^4 +1}=\frac{1}{x^2 +\frac{1}{x^2}}$
由完全平方公式得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，代入$x+\frac{1}{x}=3$，得$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2 -2=7$，
故原式$=\frac{1}{7}$。
(3) 由$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$可知$x≠0$，对等式两边取倒数，得：
$\frac{x^2 -x +1}{x}=5$，化简得$x -1 +\frac{1}{x}=5$，即$x+\frac{1}{x}=6$。
将$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的分子、分母同时除以$x^2$，得：
$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\frac{1}{x^2 +1 +\frac{1}{x^2}}$
由完全平方公式得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=6^2 -2=34$，代入得$x^2 +1 +\frac{1}{x^2}=34+1=35$，
故原式$=\frac{1}{35}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$\frac{1}{7}$；(3)$\frac{1}{35}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，倒数法求值
【点评】
本题是分式变形求值的典型题型，核心技巧是利用“分子分母同除以非零x”的操作，将高次分式转化为含有$x+\frac{1}{x}$的低次形式，再结合完全平方公式计算，熟练掌握该技巧可快速解决同类分式求值问题。
【难度系数】
0.7