23. 如图，点M，N分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民们对燃气的需求，计划在管道l上某处修建一座燃气管理站，向两个村庄接入管道。

(1)若计划修建一个离村庄M最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置(用点P表示)，这样做的依据是；
(2)若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄M、村庄N距离之和最小，画出燃气管理站的位置(用点Q表示)，这样做的依据是。

解：
(1) 过点M作$MP ⊥ l$，垂足为点P，点P即为所求的燃气管理站位置。
依据：垂线段最短。
(2) 连接$MN$，与直线$l$交于点Q，点Q即为所求的燃气管理站位置。
依据：两点之间，线段最短。

24.已知O是直线AB上一点，$OC⊥OD$，垂足为O，OE平分$∠BOC$.
(1)如图①，若$∠AOC=25°$，求$∠DOE$的度数；
(2)将图①中的$∠COD$绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，猜想$∠AOC$与$∠DOE$之间的数量关系，并说明理由.

解：
(1)
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOC = 25°，
∴ ∠BOC = 180° - 25° = 155°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2} × 155° = 77.5°$，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - 77.5° = 12.5°。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ DOE = \frac{1}{2}∠ AOC}$，理由如下：
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOC，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(180° - ∠ AOC) = 90° - \frac{1}{2}∠ AOC$，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = $90° - (90° - \frac{1}{2}∠ AOC) = \frac{1}{2}∠ AOC$。