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4.某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（）
A.A 和 B 之间
B.B 和 C 之间
C.C 和 D 之间
D.A 和 D 之间
A.A 和 B 之间
B.B 和 C 之间
C.C 和 D 之间
D.A 和 D 之间
答案
B
解析
设便民服务站的位置为点P，根据两点之间线段最短：1. 要使A、D到P的距离之和最小，P需落在A、D之间，此时AP+PD=AD，为固定最小值；2. 要使B、C到P的距离之和最小，P需落在B、C之间，此时BP+PC=BC，为固定最小值。因此四幢公寓到P的总距离之和的最小值为AD+BC，此时便民服务站建在B和C之间即可满足要求。
5. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE＝3，则DF的长为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，可得DF=DE，代入DE=3，得DF=3。
6.已知下列尺规作图:①作一个角的角平分线;②作一个角等于已知角;③作一条线段的垂直平分线。其中作法正确的是
（）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
（）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
A
解析
逐一分析三个尺规作图：
1. ①作角的角平分线：符合尺规作角平分线的标准步骤，作法正确。
2. ②作一个角等于已知角：符合尺规作等角的标准步骤，作法正确。
3. ③作线段的垂直平分线：正确作法需要分别以线段两个端点为圆心画弧，得到线段上下两个交点，再过两交点作直线，图中仅画出线段上方的一组弧，缺少线段下方的交点，无法确定完整的垂直平分线，作法错误。
因此作法正确的是①②。
1. ①作角的角平分线：符合尺规作角平分线的标准步骤，作法正确。
2. ②作一个角等于已知角：符合尺规作等角的标准步骤，作法正确。
3. ③作线段的垂直平分线：正确作法需要分别以线段两个端点为圆心画弧，得到线段上下两个交点，再过两交点作直线，图中仅画出线段上方的一组弧，缺少线段下方的交点，无法确定完整的垂直平分线，作法错误。
因此作法正确的是①②。
7. 如图，△ABC 的三边 AB，BC，CA 的长分别是 20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则 $ S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO} $ 等于（）
A.$ 1:1:1 $
B.$ 1:2:3 $
C.$ 2:3:4 $
D.$ 3:4:5 $
A.$ 1:1:1 $
B.$ 1:2:3 $
C.$ 2:3:4 $
D.$ 3:4:5 $
答案
C
解析
过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F。
因为O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· AB· OD$，$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}· BC· OE$，$S_{△ CAO}=\frac{1}{2}· AC· OF$。
因此$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4$。
因为O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· AB· OD$，$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}· BC· OE$，$S_{△ CAO}=\frac{1}{2}· AC· OF$。
因此$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4$。
8.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$C$,$D$关于$AB$对称,过点$C$作$EF// AB$,若$EF=3AB$,$△ ABC$的面积等于$2$,则$△ DEF$的面积为（）
A.4
B.6
C.12
D.24
A.4
B.6
C.12
D.24
答案
C
解析
设△ABC中AB边上的高为h，由△ABC面积为2，可得$\frac{1}{2} · AB · h = 2$，即$AB · h = 4$。
因为点C、D关于AB对称，所以AB垂直平分CD，点D到AB的距离等于点C到AB的距离h。
又因为$EF// AB$，点C在EF上，所以平行线EF与AB的距离等于点C到AB的距离h，因此点D到EF的距离为$h+h=2h$。
已知$EF=3AB$，代入△DEF面积公式：$S_{△ DEF}=\frac{1}{2} · EF · 2h = EF · h = 3AB · h = 3×4=12$。
因为点C、D关于AB对称，所以AB垂直平分CD，点D到AB的距离等于点C到AB的距离h。
又因为$EF// AB$，点C在EF上，所以平行线EF与AB的距离等于点C到AB的距离h，因此点D到EF的距离为$h+h=2h$。
已知$EF=3AB$，代入△DEF面积公式：$S_{△ DEF}=\frac{1}{2} · EF · 2h = EF · h = 3AB · h = 3×4=12$。
