1. (教材练习变式)下列方程组是二元一次方程组的是 ()

A.$\begin{cases}x - y = 3,\\y + z = 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{y}{x} = 3,\\x + 3y = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + xy = 4,\\3x - y = 5\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 5 - y,\\3y - 4x = 1\end{cases}$

1. D 解析：A 选项的方程组中含三个未知数，不是二元一次方程组；B 选项的方程组中有未知数在分母上，不是二元一次方程组；C 选项的方程组中 $ xy $ 项的次数为 2，不是二元一次方程组。故只有 D 选项符合题意。

2. 下列方程组中,解为$\begin{cases}x = - 2,\\y = - 1\end{cases}$的是 ( )

A.$\begin{cases}x + y = - 3,\\x - 2y = 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x = y,\\x + y = - 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = - 3,\\x - y = - 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 0,\\3x - y = 5\end{cases}$

2. C 解析：把 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = -1 \end{cases} $ 代入方程 $ x + y = -3 $ 中，左边 $ = -2 - 1 = -3 $，右边 $ = -3 $，左边 $ = $ 右边，把 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = -1 \end{cases} $ 代入方程 $ x - 2y = 1 $ 中，左边 $ = -2 + 2 = 0 $，右边 $ = 1 $，左边 $ ≠ $ 右边，故 A 选项不符合题意；把 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = -1 \end{cases} $ 代入方程 $ 2x = y $ 中，左边 $ = 2 × (-2) = -4 $，右边 $ = -1 $，左边 $ ≠ $ 右边，故 B 选项不符合题意；把 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = -1 \end{cases} $ 代入方程 $ x + y = -3 $ 中，左边 $ = -2 - 1 = -3 $，右边 $ = -3 $，左边 $ = $ 右边，把 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = -1 \end{cases} $ 代入方程 $ x - y = -1 $ 中，左边 $ = -2 + 1 = -1 $，右边 $ = -1 $，左边 $ = $ 右边，故 C 选项符合题意；把 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = -1 \end{cases} $ 代入方程 $ x + y = 0 $ 中，左边 $ = -2 - 1 = -3 $，右边 $ = 0 $，左边 $ ≠ $ 右边，故 D 选项不符合题意。

3. 《九章算术》中记载了一个问题,大意为:有几个人一起去买一件物品,每人出 8 元,多 3 元;每人出 7 元,少 4 元.若设共有 $x$ 人,该物品售价为 $y$ 元,则根据题意可列方程组为 ()

A.$\begin{cases}8x - 3 = y,\\7x + 4 = y\end{cases}$
B.$\begin{cases}8x + 3 = y,\\7x + 4 = y\end{cases}$
C.$\begin{cases}8x + 3 = y,\\7x - 4 = y\end{cases}$
D.$\begin{cases}8x - 3 = y,\\7x - 4 = y\end{cases}$

3. A

4. 在①$\begin{cases}x = 3,\\y = - 2,\end{cases}$②$\begin{cases}x = 4,\\y = - \dfrac{5}{3},\end{cases}$③$\begin{cases}x = \dfrac{1}{4},\\y = - \dfrac{7}{2}\end{cases}$这三组数值中, ______ 是方程 $x - 3y = 9$ 的解, ______ 是方程 $2x + y = 4$ 的解, ______ 是方程组$\begin{cases}x - 3y = 9,\\2x + y = 4\end{cases}$的解.

4. ①② ① ① 解析：由方程 $ x - 3y = 9 $，得 $ x = 9 + 3y $，观察代入三个解，①和②适合，因此，①和②是方程 $ x - 3y = 9 $ 的解；由方程 $ 2x + y = 4 $，得 $ y = 4 - 2x $，观察代入三个解，①适合，因此①是方程 $ 2x + y = 4 $ 的解。显然两个方程的公共解即为方程组的解。$ \because $ ①和②是方程 $ x - 3y = 9 $ 的解，①是方程 $ 2x + y = 4 $ 的解，$ \therefore $ ①是方程组 $ \begin{cases} x - 3y = 9, \\ 2x + y = 4 \end{cases} $ 的解。

①② ① ①

5. 请写出一个二元一次方程组 ______ ,使它的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 2.\end{cases}$

5. $ \begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = 1 \end{cases} $（答案不唯一）

6. 《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤,雀重燕轻,互换其中一只,恰好一样重,问:每只雀、燕的重量各为多少? 设每只雀重 $x$ 斤,每只燕重 $y$ 斤,可列方程组为.

6. $ \begin{cases} 5x + 6y = 1, \\ 4x + y = 5y + x \end{cases} $

7. 已知方程组$\begin{cases}mx + 2y = 1,\\4x - ny = 2m - 1\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1,\\y = - 1,\end{cases}$求 $mn$ 的值.

7. 把 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = -1 \end{cases} $ 代入方程组，得 $ \begin{cases} m + 2 × (-1) = 1, \\ 4 + n = 2m - 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 3, \\ n = 1, \end{cases} $ $ \therefore mn = 3 × 1 = 3 $。

把$\begin{cases}x = 1, \\ y = -1\end{cases}$代入方程组，得$\begin{cases}m + 2×(-1) = 1, \\ 4 - n×(-1) = 2m - 1\end{cases}$，即$\begin{cases}m - 2 = 1, \\ 4 + n = 2m - 1\end{cases}$。
由$m - 2 = 1$，解得$m = 3$。
把$m = 3$代入$4 + n = 2m - 1$，得$4 + n = 2×3 - 1$，即$4 + n = 5$，解得$n = 1$。
$\therefore mn = 3×1 = 3$。