11. (★★★)如图,四边形$ABCD$是平行四边形,$∠ BAD$的平分线$AE$交$CD$于点$F$,交$BC$的延长线于点$E$,连接$BF,AC,DE$,$∠ AFB=90°$。
(1)求证:四边形$ACED$是平行四边形;
(2)若$∠ ABC=60°,AB=6$,求$AC$的长。

$\boldsymbol{【参考答案】}$
$\boldsymbol{(1)\because 四边形\boldsymbol{ABCD}是平行四边形,}$
$\boldsymbol{\therefore AD// BC,AD=BC。}$
$\boldsymbol{\therefore ∠DAE=∠BEA。}$
$\boldsymbol{\because AE}平分\boldsymbol{∠BAD},$
$\boldsymbol{\therefore ∠DAE=∠BAE。}$
$\boldsymbol{\therefore ∠BEA=∠BAE。}$
$\boldsymbol{\therefore BA=BE。}$
$\boldsymbol{\because ∠AFB=90°,}$
$\boldsymbol{\therefore ∠ABF=∠EBF。}$
$\boldsymbol{\because AB// DC,}$
$\boldsymbol{\therefore ∠ABF=∠BFC=∠EBF,∠BAF=∠CFE。}$
$\boldsymbol{\therefore BC=CF,∠CFE=∠CEF。}$
$\boldsymbol{\therefore CE=CF。}$
$\boldsymbol{\therefore BC=CE。}$
$\boldsymbol{\therefore CE=AD。}$
$\boldsymbol{\because AD// BC,}$
$\boldsymbol{\therefore 四边形\boldsymbol{ACED}是平行四边形。}$
$\boldsymbol{(2)由(1)知,\boldsymbol{AB=BE}。}$
$\boldsymbol{\because ∠ABC=60°,}$
$\boldsymbol{\therefore △ ABE}为等边三角形。$
$\boldsymbol{\because BC=CE,\therefore AC⊥ BE。}$
$\boldsymbol{\because AB=6,}$
$\boldsymbol{\therefore BC=\frac{1}{2}BE=3。}$
$\boldsymbol{\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=3\sqrt{3}。}$

12. (★★)如图,在梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$∠ B=90°,AD=3,BC=8$,$∠ C=45°$,则线段$CD$的长为。

$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$

13. (★★)在等腰梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$AC⊥ BD,AC=6\ \mathrm{cm}$,则等腰梯形$ABCD$的面积是$\mathrm{cm}^{2}$。

$\boldsymbol{18}$

14. (★★★)关于三角形的中位线定理的证明,还可以使用如下方法进行:
已知:如图①,$D,E$分别是$△ ABC$的边$AB,AC$的中点。

求证:$DE// BC$,且$DE=\frac{1}{2}BC$。
证明:如图①,过点$A$作$AH⊥ DE$,垂足为点$H$,过点$B,C$分别向$DE$所在的直线作垂线,垂足分别为点$F,G$。
$\because AH⊥ DE,BF⊥ DE$,
$\therefore ∠ AHD=∠ BFD=90°$。
又$\because D$是$AB$的中点,
$\therefore AD=BD$。
$\because ∠ ADH=∠ BDF$,
$\therefore △ AHD≌△ BFD(\mathrm{AAS})$。
$\therefore HD=FD,AH=BF$。
同理$HE=EG,AH=CG$。
$\therefore DE=\frac{1}{2}FG,BF=CG$。
$\because $,
$\therefore $。
$\therefore $四边形$BFGC$是平行四边形。
$\therefore BC// FG$,且$BC=FG$。
$\therefore DE// BC$,且$DE=\frac{1}{2}BC$。
(1)在横线上补充缺少的步骤。
(2)如图②,如果$H$是线段$DE$上任意一点,连接$AH$,分别过点$B,C$作$BM// AH,CN// AH$,交直线$DE$于点$M,N$。你能利用这样的辅助线证明中位线定理吗?简要说明理由。
(3)我国古代数学家刘徽利用这种方法还推导出了三角形的面积公式$S=\frac{1}{2}ah$,你能解释其中的道理吗?

$\boldsymbol{(1)\boldsymbol{BF⊥ FG,CG⊥ FG}}$；$\boldsymbol{BF// CG}$
$\boldsymbol{(2)能。理由如下:\because BM// AH,}$
$\boldsymbol{\therefore ∠AHD=∠BMD。}$
$\boldsymbol{又\because AD=BD,∠ADH=∠BDM,}$
$\boldsymbol{\therefore △ AHD≌△ BMD(AAS)。}$
$\boldsymbol{\therefore HD=MD,AH=BM。}$
$\boldsymbol{同理\boldsymbol{HE=EN,AH=CN}。}$
$\boldsymbol{\therefore DE=\frac{1}{2}MN,BM=CN。}$
$\boldsymbol{\because BM// AH,CN// AH,\therefore BM// CN。}$
$\boldsymbol{\therefore 四边形\boldsymbol{BMNC}是平行四边形。}$
$\boldsymbol{\therefore BC// MN,且\boldsymbol{BC=MN}。}$
$\boldsymbol{又\because DE=\frac{1}{2}MN,}$
$\boldsymbol{\therefore DE// BC,且\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}BC}。}$
$\boldsymbol{(3)由于平行四边形的面积公式是\boldsymbol{S=ah},按照上述方法,将三角形中位线上半部分切割,补到两侧,构成了同底的平行四边形,高变成了原来的\boldsymbol{\frac{1}{2}},所以三角形的面积公式\boldsymbol{S=\frac{1}{2}ah}。}$