10.(★★)已知$a$是一个正整数,且$a$除以3余1。判断$a^{2}+4a+4$是否一定能被9整除,并说明理由。

一定能被9整除。理由如下：
设$a$除以3余1的商为$b$,则$a=3b+1$。
$\therefore\ \ a^{2}+4a+4=(a+2)^{2}$
$=(3b+3)^{2}$
$=[3(b+1)]^{2}$
$=9(b+1)^{2}$。
$\therefore\ \ a^{2}+4a+4$一定能被9整除。

11.(★★★)阅读材料:$a^{2}+2ab+b^{2}$和$a^{2}-2ab+b^{2}$这样的式子叫作完全平方式。有些多项式不是完全平方式,我们可以通过添加项,凑成完全平方式,再减去这个添加项,使整个式子的值不变,这样也可以将多项式进行因式分解,并解决一些最值问题。
例如:(1)把$x^{2}-2x-3$因式分解。
$x^{2}-2x-3$
$=x^{2}-2x+1-1-3$
$=(x-1)^{2}-4$
$=(x-1)^{2}-2^{2}$
$=(x-1+2)(x-1-2)$
$=(x+1)(x-3)$。
(2)求代数式$x^{2}-2x-3$的最小值。
$x^{2}-2x-3=x^{2}-2x+1-4=(x-1)^{2}-4$。
$\because\ \ (x-1)^{2}≥0$,
$\therefore\ \ $当$x=1$时,代数式$x^{2}-2x-3$有最小值-4。
结合以上材料,解决下列问题:
(1)若二次三项式$x^{2}-kx+9$恰好是完全平方式,则$k$的值是。
(2)仿照材料把$x^{2}-8x+15$因式分解。
(3)当$x$为何值时,$x^{2}-8x+15$有最小值?最小值是多少?

(1)$6$或$-6$
(2)$x^{2}-8x+15=x^{2}-8x+4^{2}-1=(x-4)^{2}-1=(x-4)^{2}-1^{2}=(x-4+1)(x-4-1)=(x-3)(x-5)$。
(3)$x^{2}-8x+15=(x-4)^{2}-1$。
$\because\ \ (x-4)^{2}≥0$,
$\therefore\ \ $当$x=4$时,代数式$x^{2}-8x+15$有最小值$-1$。