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22 如图，现要在长方形草坪中规划出$3$块大小、形状一样的小长方形(图中阴影部分)区域种植鲜花.
(1)如图 1，大长方形的相邻两边长分别为$60m$和$45m$，求小长方形的相邻两边长；
(2)如图 2，设大长方形的相邻两边长分别为$a$和$b$，小长方形的相邻两边长分别为$x$和$y$，$1$个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
(1)如图 1，大长方形的相邻两边长分别为$60m$和$45m$，求小长方形的相邻两边长；
(2)如图 2，设大长方形的相邻两边长分别为$a$和$b$，小长方形的相邻两边长分别为$x$和$y$，$1$个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
答案
22. 解:(1) 设小长方形的宽为 $ x $ m,长为 $ y $ m.
根据题意,得 $ \begin{cases} x + 2y = 60, \\ 2x + y = 45, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 10, \\ y = 25. \end{cases} $
所以小长方形的相邻两边长分别是 10 m,25 m.
(2) 是定值 $ \frac{1}{3} $.理由如下:
根据题意可知,1 个小长方形的周长 $ C_{小} = 2(x + y) $.
因为 $ a = 2x + y $,$ b = x + 2y $,大长方形的周长 $ C_{大} = 2(a + b) = 2(2x + y + x + 2y) = 6(x + y) $,
所以 $ \frac{C_{小}}{C_{大}} = \frac{2(x + y)}{6(x + y)} = \frac{1}{3} $,
所以 1 个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值,为 $ \frac{1}{3} $.
根据题意,得 $ \begin{cases} x + 2y = 60, \\ 2x + y = 45, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 10, \\ y = 25. \end{cases} $
所以小长方形的相邻两边长分别是 10 m,25 m.
(2) 是定值 $ \frac{1}{3} $.理由如下:
根据题意可知,1 个小长方形的周长 $ C_{小} = 2(x + y) $.
因为 $ a = 2x + y $,$ b = x + 2y $,大长方形的周长 $ C_{大} = 2(a + b) = 2(2x + y + x + 2y) = 6(x + y) $,
所以 $ \frac{C_{小}}{C_{大}} = \frac{2(x + y)}{6(x + y)} = \frac{1}{3} $,
所以 1 个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值,为 $ \frac{1}{3} $.
23 已知用$2$辆$A$型车和$1$辆$B$型车装满货物一次可运货$10t$；用$1$辆$A$型车和$2$辆$B$型车装满货物一次可运货$11t$.某物流公司现有$31t$货物，计划同时租用$A$型车$m$辆，$B$型车$n$辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题.
(1)一辆$A$型车和一辆$B$型车装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案.
(1)一辆$A$型车和一辆$B$型车装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案.
答案
23. 解:(1) 设每辆 A 型车都载满货物一次可运货 $ x $ t,每辆 B 型车都载满货物一次可以运货 $ y $ t.
根据题意,得 $ \begin{cases} 2x + y = 10, \\ x + 2y = 11, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 4, \end{cases} $
所以 1 辆 A 型车载满货物一次可运货 3 t,1 辆 B 型车载满货物一次可运货 4 t.
(2) 由(1),得 $ 3m + 4n = 31 $,所以 $ m = \frac{31 - 4n}{3} $.
因为 $ m $,$ n $ 都是正整数,
所以 $ \begin{cases} m = 9, \\ n = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 5, \\ n = 4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 1, \\ n = 7, \end{cases} $
所以有 3 种租车方案,分别是方案一:A 型车 9 辆,B 型车 1 辆;方案二:A 型车 5 辆,B 型车 4 辆;方案三:A 型车 1 辆,B 型车 7 辆.
根据题意,得 $ \begin{cases} 2x + y = 10, \\ x + 2y = 11, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 4, \end{cases} $
所以 1 辆 A 型车载满货物一次可运货 3 t,1 辆 B 型车载满货物一次可运货 4 t.
(2) 由(1),得 $ 3m + 4n = 31 $,所以 $ m = \frac{31 - 4n}{3} $.
因为 $ m $,$ n $ 都是正整数,
所以 $ \begin{cases} m = 9, \\ n = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 5, \\ n = 4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 1, \\ n = 7, \end{cases} $
所以有 3 种租车方案,分别是方案一:A 型车 9 辆,B 型车 1 辆;方案二:A 型车 5 辆,B 型车 4 辆;方案三:A 型车 1 辆,B 型车 7 辆.
24 (2025 无锡梁溪月考)某校欲购置规格分别为$200mL$和$500mL$的甲、乙两种洗手液，已知购买$3$瓶甲洗手液和$2$瓶乙洗手液需要$80$元，购买$1$瓶甲洗手液和$4$瓶乙洗手液需要$110$元.
(1)求甲、乙两种洗手液的单价；
(2)已知学校师生共$1000$人，平均每人每天需要使用$5mL$的洗手液，若采购两种洗手液共花费$2500$元，则这批洗手液可供全校师生使用多少天？
(3)为节约成本，学校购买了散装洗手液进行分装，现需要将$8.4L$的洗手液装进最大容量为$200mL$和$500mL$的两种空瓶中(每瓶需装满)，若分装时平均每瓶会损耗$10mL$，请问如何分装可使总损耗最小，并求出此时需要的两种空瓶的数量.
(1)求甲、乙两种洗手液的单价；
(2)已知学校师生共$1000$人，平均每人每天需要使用$5mL$的洗手液，若采购两种洗手液共花费$2500$元，则这批洗手液可供全校师生使用多少天？
(3)为节约成本，学校购买了散装洗手液进行分装，现需要将$8.4L$的洗手液装进最大容量为$200mL$和$500mL$的两种空瓶中(每瓶需装满)，若分装时平均每瓶会损耗$10mL$，请问如何分装可使总损耗最小，并求出此时需要的两种空瓶的数量.
答案
24. 解:(1) 设甲洗手液的单价为 $ x $ 元/瓶,乙洗手液的单价为 $ y $ 元/瓶.
根据题意,得 $ \begin{cases} 3x + 2y = 80, \\ x + 4y = 110, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 10, \\ y = 25, \end{cases} $
所以甲洗手液的单价为 10 元/瓶,乙洗手液的单价为 25 元/瓶.
(2) 设购进甲洗手液 $ a $ 瓶,乙洗手液 $ b $ 瓶.
根据题意,得 $ 10a + 25b = 2500 $,所以 $ 2a + 5b = 500 $,
所以 $ \frac{200a + 500b}{1000×5} = \frac{2a + 5b}{50} = 10 $,
所以这批洗手液可供全校师生使用 10 天.
(3) 设有分装 200 mL 的洗手液 $ m $ 瓶,500 mL 的洗手液 $ n $ 瓶.
根据题意,得 $ 200m + 500n + 10(m + n) = 8400 $,
所以 $ m = 40 - \frac{17}{7}n $.
因为 $ m $,$ n $ 均为正整数,
所以 $ \begin{cases} m = 23, \\ n = 7 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 6, \\ n = 14. \end{cases} $
因为要使分装时总损耗 $ 10(m + n) $ 最小,
所以 $ \begin{cases} m = 6, \\ n = 14, \end{cases} $
所以分装时需要 200 mL 的空瓶 6 瓶,500 mL 的空瓶 14 瓶,才能使总损耗最小.
根据题意,得 $ \begin{cases} 3x + 2y = 80, \\ x + 4y = 110, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 10, \\ y = 25, \end{cases} $
所以甲洗手液的单价为 10 元/瓶,乙洗手液的单价为 25 元/瓶.
(2) 设购进甲洗手液 $ a $ 瓶,乙洗手液 $ b $ 瓶.
根据题意,得 $ 10a + 25b = 2500 $,所以 $ 2a + 5b = 500 $,
所以 $ \frac{200a + 500b}{1000×5} = \frac{2a + 5b}{50} = 10 $,
所以这批洗手液可供全校师生使用 10 天.
(3) 设有分装 200 mL 的洗手液 $ m $ 瓶,500 mL 的洗手液 $ n $ 瓶.
根据题意,得 $ 200m + 500n + 10(m + n) = 8400 $,
所以 $ m = 40 - \frac{17}{7}n $.
因为 $ m $,$ n $ 均为正整数,
所以 $ \begin{cases} m = 23, \\ n = 7 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 6, \\ n = 14. \end{cases} $
因为要使分装时总损耗 $ 10(m + n) $ 最小,
所以 $ \begin{cases} m = 6, \\ n = 14, \end{cases} $
所以分装时需要 200 mL 的空瓶 6 瓶,500 mL 的空瓶 14 瓶,才能使总损耗最小.
