登录
9.已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a－1|－√(a－2)²的结果是
2a－3
。答案
9.2a－3
解析
【分析】
首先观察数轴确定实数a的取值范围为1＜a＜2，再根据二次根式的性质将$\sqrt{(a-2)^2}$转化为$|a-2|$，接下来分别判断$a-1$和$a-2$的正负性：$a-1$为正，$a-2$为负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得，$1 ＜ a ＜ 2$，
$\therefore a-1＞0$，$a-2＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，则：
$|a-1|-\sqrt{(a-2)^2}$
$= |a-1| - |a-2|$
$= (a-1) - [-(a-2)]$
$= a-1 + a -2$
$= 2a-3$
【答案】
$2a-3$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，需要结合数轴判断代数式的正负，再利用相关性质去绝对值符号，解题时要注意去绝对值时的符号变化，避免因符号弄错导致计算错误。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定实数a的取值范围为1＜a＜2，再根据二次根式的性质将$\sqrt{(a-2)^2}$转化为$|a-2|$，接下来分别判断$a-1$和$a-2$的正负性：$a-1$为正，$a-2$为负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得，$1 ＜ a ＜ 2$，
$\therefore a-1＞0$，$a-2＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，则：
$|a-1|-\sqrt{(a-2)^2}$
$= |a-1| - |a-2|$
$= (a-1) - [-(a-2)]$
$= a-1 + a -2$
$= 2a-3$
【答案】
$2a-3$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，需要结合数轴判断代数式的正负，再利用相关性质去绝对值符号，解题时要注意去绝对值时的符号变化，避免因符号弄错导致计算错误。
【难度系数】
0.7
10.如图所示,在菱形ABCD中,连接AC,AE平分∠CAB,交BC于点E,若∠CAE=32°,则∠CAD的度数为
64°
.答案
10.64°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据角平分线的定义，由AE平分∠CAB且已知∠CAE的度数，可先求出∠CAB的度数；再结合菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，可知AC平分∠BAD，即∠CAD与∠CAB相等，代入数值即可得到∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AE平分∠CAB，∠CAE=32°，
∴∠CAB=2∠CAE=2×32°=64°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC为∠BAD的角平分线，即∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=64°。
【答案】
64°
【知识点】
角平分线的定义；菱形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查对角平分线定义和菱形性质的应用，解题时只要熟练掌握相关性质，按步骤推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据角平分线的定义，由AE平分∠CAB且已知∠CAE的度数，可先求出∠CAB的度数；再结合菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，可知AC平分∠BAD，即∠CAD与∠CAB相等，代入数值即可得到∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AE平分∠CAB，∠CAE=32°，
∴∠CAB=2∠CAE=2×32°=64°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC为∠BAD的角平分线，即∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=64°。
【答案】
64°
【知识点】
角平分线的定义；菱形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查对角平分线定义和菱形性质的应用，解题时只要熟练掌握相关性质，按步骤推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
11.计算:(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；(2)$\sqrt{18} + |\sqrt{2} - 2| + 2025^0 - \sqrt{15} × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$。
答案
11.解:(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$
$=4\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}×12} + 2\sqrt{6}$
$=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4 + \sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{18} + |\sqrt{2} - 2| + 2025^0 - \sqrt{15} × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
$=3\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{15×3}}{\sqrt{5}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - \sqrt{\frac{45}{5}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - 3$
$=2\sqrt{2}$.
$=4\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}×12} + 2\sqrt{6}$
$=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4 + \sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{18} + |\sqrt{2} - 2| + 2025^0 - \sqrt{15} × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
$=3\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{15×3}}{\sqrt{5}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - \sqrt{\frac{45}{5}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - 3$
$=2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这两道题为二次根式的混合运算题，解题思路如下：①遵循运算顺序：先计算乘除，后计算加减，有绝对值、零指数幂的优先计算这部分；②二次根式乘除可直接用运算法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，也可先将二次根式化为最简形式再计算；③去绝对值前先判断绝对值内式子的正负，非零数的零次幂为1；④最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算二次根式乘除，再合并同类二次根式：
$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$
$=4\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}×12} + 2\sqrt{6}$
$=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4 + \sqrt{6}$
(2) 先化简二次根式、去绝对值、计算零指数幂，再计算二次根式乘除，最后合并：
$\sqrt{18} + |\sqrt{2} - 2| + 2025^0 - \sqrt{15} × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
$=3\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{15×3}}{\sqrt{5}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - \sqrt{\frac{45}{5}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - 3$
$=2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$4+\sqrt{6}$；(2)$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，绝对值化简，零指数幂运算
【点评】
本题为二次根式运算的基础题型，主要考察二次根式的乘除、化简规则，以及绝对值、零指数幂的基本性质，运算时严格遵循运算顺序，去绝对值前先判断符号，可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这两道题为二次根式的混合运算题，解题思路如下：①遵循运算顺序：先计算乘除，后计算加减，有绝对值、零指数幂的优先计算这部分；②二次根式乘除可直接用运算法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，也可先将二次根式化为最简形式再计算；③去绝对值前先判断绝对值内式子的正负，非零数的零次幂为1；④最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算二次根式乘除，再合并同类二次根式：
$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$
$=4\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}×12} + 2\sqrt{6}$
$=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4 + \sqrt{6}$
(2) 先化简二次根式、去绝对值、计算零指数幂，再计算二次根式乘除，最后合并：
$\sqrt{18} + |\sqrt{2} - 2| + 2025^0 - \sqrt{15} × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
$=3\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{15×3}}{\sqrt{5}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - \sqrt{\frac{45}{5}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - 3$
$=2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$4+\sqrt{6}$；(2)$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，绝对值化简，零指数幂运算
【点评】
本题为二次根式运算的基础题型，主要考察二次根式的乘除、化简规则，以及绝对值、零指数幂的基本性质，运算时严格遵循运算顺序，去绝对值前先判断符号，可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
12.已知 y 关于 x 的函数$y=4x+m-3$.
(1)若 y 是 x 的正比例函数,求 m 的值;
(2)若$m=7$,求该函数图象与 x 轴的交点的坐标.
(1)若 y 是 x 的正比例函数,求 m 的值;
(2)若$m=7$,求该函数图象与 x 轴的交点的坐标.
答案
12.解:(1)$\because y$关于$x$的函数$y=4x+m-3$,$y$是$x$的正比例函数,
$\therefore m-3=0$,解得$m=3$.
(2)当$m=7$时,该函数的解析式为$y=4x+4$,
令$y=0$,得$4x+4=0$,解得$x=-1$,
$\therefore$当$m=7$时,该函数图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$.
$\therefore m-3=0$,解得$m=3$.
(2)当$m=7$时,该函数的解析式为$y=4x+4$,
令$y=0$,得$4x+4=0$,解得$x=-1$,
$\therefore$当$m=7$时,该函数图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$.
解析
【分析】
(1) 求解第一问需先明确正比例函数的定义：正比例函数的形式为y=kx（k为常数且k≠0），不存在常数项，因此只需令题中函数的常数项m-3=0，解方程即可得到m的值。
(2) 求解第二问首先将m=7代入原函数，得到具体的一次函数解析式；再根据x轴上点的纵坐标为0的特征，令函数中y=0，解出对应的x值，即可得到函数图象与x轴的交点坐标。
【解析】
(1)
∵ y关于x的函数y=4x+m-3是x的正比例函数，
∴ m-3=0，解得m=3。
(2) 当m=7时，代入原函数解析式得y=4x+7-3=4x+4，
令y=0，得4x+4=0，解得x=-1，
∴ 该函数图象与x轴的交点坐标为(-1, 0)。
【答案】
(1) m=3；(2) (-1, 0)
【知识点】
正比例函数的定义，一次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是一次函数相关的基础题，主要考查正比例函数的概念和一次函数与坐标轴交点的求解方法，掌握相关基础概念和坐标轴上点的坐标特征即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
(1) 求解第一问需先明确正比例函数的定义：正比例函数的形式为y=kx（k为常数且k≠0），不存在常数项，因此只需令题中函数的常数项m-3=0，解方程即可得到m的值。
(2) 求解第二问首先将m=7代入原函数，得到具体的一次函数解析式；再根据x轴上点的纵坐标为0的特征，令函数中y=0，解出对应的x值，即可得到函数图象与x轴的交点坐标。
【解析】
(1)
∵ y关于x的函数y=4x+m-3是x的正比例函数，
∴ m-3=0，解得m=3。
(2) 当m=7时，代入原函数解析式得y=4x+7-3=4x+4，
令y=0，得4x+4=0，解得x=-1，
∴ 该函数图象与x轴的交点坐标为(-1, 0)。
【答案】
(1) m=3；(2) (-1, 0)
【知识点】
正比例函数的定义，一次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是一次函数相关的基础题，主要考查正比例函数的概念和一次函数与坐标轴交点的求解方法，掌握相关基础概念和坐标轴上点的坐标特征即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
13.如图所示,四边形ABCD是平行四边形.
(1)尺规作图:作∠BAD的平分线交BC于点E(不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)求证:BE=DC.
(1)尺规作图:作∠BAD的平分线交BC于点E(不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)求证:BE=DC.
答案
13.(1)解:如图所示,AE即为所求.
(2)证明:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC$,$AB=DC$.
$\therefore ∠ DAE=∠ BEA$.
$\because AE$平分$∠ BAD$,
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$.
$\therefore ∠ BEA=∠ BAE$.
$\therefore AB=BE$,
$\therefore BE=DC$.
解析
【分析】
（1）作图思路：作∠BAD的平分线可依据角平分线的尺规作图方法：以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAD内部交于一点，连接点A与该交点并延长，交BC于点E，AE就是所求的角平分线，注意保留作图痕迹即可。
（2）证明思路：要证BE=DC，首先利用平行四边形对边相等的性质可得AB=DC，因此只需证明BE=AB即可；要证两条边相等可通过证明两边所对的角相等，即证∠BEA=∠BAE；结合平行四边形对边平行的性质可得AD//BC，进而推出内错角∠DAE=∠BEA，再结合AE平分∠BAD得到∠BAE=∠DAE，通过等量代换可得∠BEA=∠BAE，依据等角对等边得到AB=BE，最后通过等量代换即可得到BE=DC。
【解析】
(1) 按照角平分线尺规作图步骤操作，得到的AE即为∠BAD的平分线，保留要求的作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=DC，
∴ ∠DAE=∠BEA（两直线平行，内错角相等），
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE（角平分线的定义），
∴ ∠BEA=∠BAE（等量代换），
∴ AB=BE（等角对等边），
又
∵ AB=DC，
∴ BE=DC（等量代换）。
【答案】
13.(1)解:如图所示,AE即为所求.
(2)证明:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC$,$AB=DC$.
$\therefore ∠ DAE=∠ BEA$.
$\because AE$平分$∠ BAD$,
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$.
$\therefore ∠ BEA=∠ BAE$.
$\therefore AB=BE$,
$\therefore BE=DC$.
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 平行四边形的性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了平行四边形性质和等腰三角形判定的应用，解题的关键是利用平行线性质和角平分线定义完成角的等量代换，进而推导得到边的相等关系。
【难度系数】
0.7
（1）作图思路：作∠BAD的平分线可依据角平分线的尺规作图方法：以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAD内部交于一点，连接点A与该交点并延长，交BC于点E，AE就是所求的角平分线，注意保留作图痕迹即可。
（2）证明思路：要证BE=DC，首先利用平行四边形对边相等的性质可得AB=DC，因此只需证明BE=AB即可；要证两条边相等可通过证明两边所对的角相等，即证∠BEA=∠BAE；结合平行四边形对边平行的性质可得AD//BC，进而推出内错角∠DAE=∠BEA，再结合AE平分∠BAD得到∠BAE=∠DAE，通过等量代换可得∠BEA=∠BAE，依据等角对等边得到AB=BE，最后通过等量代换即可得到BE=DC。
【解析】
(1) 按照角平分线尺规作图步骤操作，得到的AE即为∠BAD的平分线，保留要求的作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=DC，
∴ ∠DAE=∠BEA（两直线平行，内错角相等），
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE（角平分线的定义），
∴ ∠BEA=∠BAE（等量代换），
∴ AB=BE（等角对等边），
又
∵ AB=DC，
∴ BE=DC（等量代换）。
【答案】
13.(1)解:如图所示,AE即为所求.
(2)证明:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC$,$AB=DC$.
$\therefore ∠ DAE=∠ BEA$.
$\because AE$平分$∠ BAD$,
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$.
$\therefore ∠ BEA=∠ BAE$.
$\therefore AB=BE$,
$\therefore BE=DC$.
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 平行四边形的性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了平行四边形性质和等腰三角形判定的应用，解题的关键是利用平行线性质和角平分线定义完成角的等量代换，进而推导得到边的相等关系。
【难度系数】
0.7
