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1. 下列是二元一次方程的是 （
A.$x - 1 = 2x$
B.$x = \frac{1}{y}$
C.$x - 2y = 0$
D.$x - y$
C
）A.$x - 1 = 2x$
B.$x = \frac{1}{y}$
C.$x - 2y = 0$
D.$x - y$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个式子是否为二元一次方程，需紧扣四个核心判断条件：①是含等号的等式（属于方程范畴）；②含有2个不同的未知数；③含有未知数的项的次数都是1；④是整式方程（分母不含未知数）。解题时可逐个对照这四个条件排除不符合的选项，就能快速得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：仅含有x这1个未知数，属于一元一次方程，不符合二元一次方程的要求，排除；
B选项：等式右边分母含未知数y，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C选项：含有x、y两个未知数，含未知数的项x、-2y的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，当选；
D选项：没有等号，不是等式，不属于方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.二元一次方程的定义
2.整式方程的判定
3.方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟记二元一次方程的判定要点，逐一排查选项即可，注意不要遗漏“整式方程”“是等式”这类易忽略的判断条件。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是否为二元一次方程，需紧扣四个核心判断条件：①是含等号的等式（属于方程范畴）；②含有2个不同的未知数；③含有未知数的项的次数都是1；④是整式方程（分母不含未知数）。解题时可逐个对照这四个条件排除不符合的选项，就能快速得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：仅含有x这1个未知数，属于一元一次方程，不符合二元一次方程的要求，排除；
B选项：等式右边分母含未知数y，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C选项：含有x、y两个未知数，含未知数的项x、-2y的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，当选；
D选项：没有等号，不是等式，不属于方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.二元一次方程的定义
2.整式方程的判定
3.方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟记二元一次方程的判定要点，逐一排查选项即可，注意不要遗漏“整式方程”“是等式”这类易忽略的判断条件。
【难度系数】
0.9
2. 若$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$x - ay = 4$的一组解，则$a$的值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确二元一次方程的解的性质：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此我们只需要把已知的x、y的取值代入原方程，就能得到只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$x - ay = 4$的解，将x=1、y=-1代入方程中：
$\begin{aligned}1 - a×(-1) &= 4 \\1 + a &= 4 \\a &= 4 - 1 \\a &= 3\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础应用题，核心考查方程解的定义，只需将解代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算难度低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先明确二元一次方程的解的性质：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此我们只需要把已知的x、y的取值代入原方程，就能得到只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$x - ay = 4$的解，将x=1、y=-1代入方程中：
$\begin{aligned}1 - a×(-1) &= 4 \\1 + a &= 4 \\a &= 4 - 1 \\a &= 3\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础应用题，核心考查方程解的定义，只需将解代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算难度低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
3. 用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}2x + 10y =5, ① \\4x - y = -11②\end{cases}$时，下列方法无法消元的是 （ ）
A.①$× 2 -$②
B.①$+$②$× 10$
C.①$× (-2)+$②
D.①$-$②$× 10$
A.①$× 2 -$②
B.①$+$②$× 10$
C.①$× (-2)+$②
D.①$-$②$× 10$
答案
3.D
解析
【分析】
加减消元法的核心是通过对两个方程乘适当的系数，使某一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程相加或相减，就能消去该未知数。要判断哪个选项无法消元，只需逐一计算每个选项操作后两个未知数的系数，看是否有未知数的系数变为0，若都不为0则无法消元。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ①×2得：$4x+20y=10$，再减去②，得$(4x+20y)-(4x-y)=10-(-11)$，x的系数为$4-4=0$，可消去x，不符合题意；
B. ②×10得：$40x-10y=-110$，再加上①，得$(2x+10y)+(40x-10y)=5+(-110)$，y的系数为$10-10=0$，可消去y，不符合题意；
C. ①×(-2)得：$-4x-20y=-10$，再加上②，得$(-4x-20y)+(4x-y)=-10+(-11)$，x的系数为$-4+4=0$，可消去x，不符合题意；
D. ②×10得：$40x-10y=-110$，用①减去②×10，得$(2x+10y)-(40x-10y)=5-(-110)$，计算得x的系数为$2-40=-38≠0$，y的系数为$10-(-10)=20≠0$，两个未知数都未被消去，无法消元，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组
【点评】
本题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是明确消元的本质是让某一未知数的系数变为0，熟练掌握加减消元的运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
加减消元法的核心是通过对两个方程乘适当的系数，使某一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程相加或相减，就能消去该未知数。要判断哪个选项无法消元，只需逐一计算每个选项操作后两个未知数的系数，看是否有未知数的系数变为0，若都不为0则无法消元。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ①×2得：$4x+20y=10$，再减去②，得$(4x+20y)-(4x-y)=10-(-11)$，x的系数为$4-4=0$，可消去x，不符合题意；
B. ②×10得：$40x-10y=-110$，再加上①，得$(2x+10y)+(40x-10y)=5+(-110)$，y的系数为$10-10=0$，可消去y，不符合题意；
C. ①×(-2)得：$-4x-20y=-10$，再加上②，得$(-4x-20y)+(4x-y)=-10+(-11)$，x的系数为$-4+4=0$，可消去x，不符合题意；
D. ②×10得：$40x-10y=-110$，用①减去②×10，得$(2x+10y)-(40x-10y)=5-(-110)$，计算得x的系数为$2-40=-38≠0$，y的系数为$10-(-10)=20≠0$，两个未知数都未被消去，无法消元，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组
【点评】
本题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是明确消元的本质是让某一未知数的系数变为0，熟练掌握加减消元的运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组$\begin{cases}2x+3y=8,①\\3x-5y=5,②\end{cases}$规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（ ）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
4.C
解析
【分析】
本题需要按照代入消元法解二元一次方程组的步骤，依次核对每位同学的计算是否正确：首先判断将方程变形用一个未知数表示另一个未知数是否正确，再判断代入是否正确，接着核对去分母、求解的步骤是否符合运算规则即可。
【解析】
我们逐位检查四人的步骤：
1. 检查甲的步骤：对①$2x+3y=8$移项得$2x=8-3y$，两边同时除以2得$x=\frac{8-3y}{2}$，步骤正确。
2. 检查乙的步骤：将③代入②$3x-5y=5$，替换$x$后得到$3× \frac{8-3y}{2}-5y=5$，步骤正确。
3. 检查丙的步骤：对$3× \frac{8-3y}{2}-5y=5$去分母，根据等式的性质，等式两边需同时乘2，左边得$3(8-3y)-10y=24-9y-10y$，右边应为$5× 2=10$，但丙的计算中右边没有乘2，仍写为5，步骤错误。
4. 检查丁的步骤：按照丙给出的式子$24-9y-10y=5$计算，合并同类项得$24-19y=5$，解得$y=1$，再代入①得$2x+3=8$，$x=\frac{5}{2}$，丁的计算基于丙的结果，本身计算无误。
因此解题中出现错误的是丙。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法，等式的性质
【点评】
本题重点考查解二元一次方程组的易错点，去分母时要注意给所有项都乘公分母，不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.7
本题需要按照代入消元法解二元一次方程组的步骤，依次核对每位同学的计算是否正确：首先判断将方程变形用一个未知数表示另一个未知数是否正确，再判断代入是否正确，接着核对去分母、求解的步骤是否符合运算规则即可。
【解析】
我们逐位检查四人的步骤：
1. 检查甲的步骤：对①$2x+3y=8$移项得$2x=8-3y$，两边同时除以2得$x=\frac{8-3y}{2}$，步骤正确。
2. 检查乙的步骤：将③代入②$3x-5y=5$，替换$x$后得到$3× \frac{8-3y}{2}-5y=5$，步骤正确。
3. 检查丙的步骤：对$3× \frac{8-3y}{2}-5y=5$去分母，根据等式的性质，等式两边需同时乘2，左边得$3(8-3y)-10y=24-9y-10y$，右边应为$5× 2=10$，但丙的计算中右边没有乘2，仍写为5，步骤错误。
4. 检查丁的步骤：按照丙给出的式子$24-9y-10y=5$计算，合并同类项得$24-19y=5$，解得$y=1$，再代入①得$2x+3=8$，$x=\frac{5}{2}$，丁的计算基于丙的结果，本身计算无误。
因此解题中出现错误的是丙。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法，等式的性质
【点评】
本题重点考查解二元一次方程组的易错点，去分母时要注意给所有项都乘公分母，不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.7
5. 方程组$\begin{cases}2x=\dfrac{y}{2}+5, \\2x+3y=12\end{cases}$的解为（ ）
A.$\begin{cases}x=2, \\y=3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=3, \\y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-2, \\y=3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-3, \\y=-2\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=2, \\y=3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=3, \\y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-2, \\y=3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-3, \\y=-2\end{cases}$
答案
5.B
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组求解的题目，观察发现两个方程中都含有“2x”项，优先选择整体代入消元法解题：第一步将第一个方程中的2x整体代入第二个方程，消去未知数x，得到只含y的一元一次方程，求解得到y的值；第二步将求出的y值代入原方程求出x的值，即可得到方程组的解，也可通过将选项逐一代入方程组验证是否同时满足两个方程来得到答案。
【解析】
将原方程组标注序号：
$\begin{cases}2x=\dfrac{y}{2}+5&①\\2x+3y=12&②\end{cases}$
把①整体代入②消去x，可得：
$\dfrac{y}{2}+5 + 3y = 12$
合并同类项得：$\dfrac{7y}{2}=7$
两边同时乘2得$7y=14$，解得$y=2$
将$y=2$代入①，得$2x=\dfrac{2}{2}+5=6$，解得$x=3$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础求解能力，解题时注意观察方程的系数特征，选择简便的消元方法可以减少计算量、提高正确率，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组求解的题目，观察发现两个方程中都含有“2x”项，优先选择整体代入消元法解题：第一步将第一个方程中的2x整体代入第二个方程，消去未知数x，得到只含y的一元一次方程，求解得到y的值；第二步将求出的y值代入原方程求出x的值，即可得到方程组的解，也可通过将选项逐一代入方程组验证是否同时满足两个方程来得到答案。
【解析】
将原方程组标注序号：
$\begin{cases}2x=\dfrac{y}{2}+5&①\\2x+3y=12&②\end{cases}$
把①整体代入②消去x，可得：
$\dfrac{y}{2}+5 + 3y = 12$
合并同类项得：$\dfrac{7y}{2}=7$
两边同时乘2得$7y=14$，解得$y=2$
将$y=2$代入①，得$2x=\dfrac{2}{2}+5=6$，解得$x=3$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础求解能力，解题时注意观察方程的系数特征，选择简便的消元方法可以减少计算量、提高正确率，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6.已知方程组$\begin{cases}a - 2b = 6, \\3a - b = m\end{cases}$中，$a,b$互为相反数，则$m$的值是（ ）
A.4
B.－4
C.0
D.8
A.4
B.－4
C.0
D.8
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中“a，b互为相反数”的条件，根据相反数的性质可得a=-b，这是解题的突破口。接下来用代入消元法，先将a=-b代入第一个方程求出b的值，再得到a的值，最后把a、b的值代入第二个方程就能算出m的值。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数
∴a = -b
将a=-b代入方程$a - 2b = 6$，得：
$-b - 2b = 6$
合并同类项得：$-3b = 6$
解得：$b = -2$
∴$a = -b = 2$
把$a=2$，$b=-2$代入$3a - b = m$，得：
$m = 3×2 - (-2) = 6 + 2 = 8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；代入消元法；二元一次方程组求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用相反数的性质得到a与b的数量关系，再代入方程逐步计算即可，主要考查学生对基础概念的掌握和简单代数运算的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题干中“a，b互为相反数”的条件，根据相反数的性质可得a=-b，这是解题的突破口。接下来用代入消元法，先将a=-b代入第一个方程求出b的值，再得到a的值，最后把a、b的值代入第二个方程就能算出m的值。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数
∴a = -b
将a=-b代入方程$a - 2b = 6$，得：
$-b - 2b = 6$
合并同类项得：$-3b = 6$
解得：$b = -2$
∴$a = -b = 2$
把$a=2$，$b=-2$代入$3a - b = m$，得：
$m = 3×2 - (-2) = 6 + 2 = 8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；代入消元法；二元一次方程组求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用相反数的性质得到a与b的数量关系，再代入方程逐步计算即可，主要考查学生对基础概念的掌握和简单代数运算的能力。
【难度系数】
0.8
7.【跨学科】请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦,鸦树不知数,五只栖一树,四只没去处;六只栖一树,闲了三棵树,请你仔细数,鸦树各几何?”假设树有$x$棵,鸦有$y$只,根据题意,下列方程组正确的是（
A.$\begin{cases}5x + 4 = y, \\6x - 18 = y\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + 4 = y, \\6x + 18 = y\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x - 4 = y, \\6x - 18 = y\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x - 4 = y, \\6x + 18 = y\end{cases}$
A
）A.$\begin{cases}5x + 4 = y, \\6x - 18 = y\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + 4 = y, \\6x + 18 = y\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x - 4 = y, \\6x - 18 = y\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x - 4 = y, \\6x + 18 = y\end{cases}$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时首先要找出题目中的两个等量关系，两个等量关系都围绕鸦的总数量不变构建。首先理解第一句描述的鸦树数量关系：每棵树住5只鸦，剩余4只没地方住，可得鸦的总数=5×树的棵数+4；再理解第二句描述的关系：每棵树住6只鸦，会空出3棵树，也就是实际参与住鸦的树是总棵数减3，可得鸦的总数=6×（树的总棵数-3），将两个等量关系用含x、y的式子表示后联立，再对应选项即可找到答案。
【解析】
首先根据“五只栖一树，四只没去处”列第一个方程：
每棵树住5只，x棵树可容纳5x只鸦，加上没去处的4只就是鸦的总数量y，即：
$5x + 4 = y$
再根据“六只栖一树，闲了三棵树”列第二个方程：
闲了3棵树，说明实际用来住鸦的树有$(x-3)$棵，每棵住6只刚好住满，总鸦数y为：
$y=6(x-3)$，展开得$6x - 18 = y$
联立两个方程可得方程组$\begin{cases}5x + 4 = y, \\6x - 18 = y\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用；等量关系构建
【点评】
本题以古诗文为背景考查二元一次方程组的实际应用，解题核心是准确理解诗句含义，抓住鸦的总数、树的总数这两个不变量建立方程，审题时需注意“闲了三棵树”是指实际使用的树比总棵数少3，避免因理解偏差列错方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先要找出题目中的两个等量关系，两个等量关系都围绕鸦的总数量不变构建。首先理解第一句描述的鸦树数量关系：每棵树住5只鸦，剩余4只没地方住，可得鸦的总数=5×树的棵数+4；再理解第二句描述的关系：每棵树住6只鸦，会空出3棵树，也就是实际参与住鸦的树是总棵数减3，可得鸦的总数=6×（树的总棵数-3），将两个等量关系用含x、y的式子表示后联立，再对应选项即可找到答案。
【解析】
首先根据“五只栖一树，四只没去处”列第一个方程：
每棵树住5只，x棵树可容纳5x只鸦，加上没去处的4只就是鸦的总数量y，即：
$5x + 4 = y$
再根据“六只栖一树，闲了三棵树”列第二个方程：
闲了3棵树，说明实际用来住鸦的树有$(x-3)$棵，每棵住6只刚好住满，总鸦数y为：
$y=6(x-3)$，展开得$6x - 18 = y$
联立两个方程可得方程组$\begin{cases}5x + 4 = y, \\6x - 18 = y\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用；等量关系构建
【点评】
本题以古诗文为背景考查二元一次方程组的实际应用，解题核心是准确理解诗句含义，抓住鸦的总数、树的总数这两个不变量建立方程，审题时需注意“闲了三棵树”是指实际使用的树比总棵数少3，避免因理解偏差列错方程。
【难度系数】
0.7
