4. 如图,在$□ ABCD$中,点M、N分别是AB、CD的中点,BD分别交AN、CM于点P、Q,在结论:①$DP = PQ = QB$;②$AP = CQ$;③$CQ = 2MQ$;④$S_{△ ADP} = \frac{1}{4}S_{□ ABCD}$中,正确的有 ()


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

4. C

三、解答题
1. 如图，点E、F是$□ ABCD$的对角线BD上的两点，且$BE = DF$。
求证：四边形AECF是平行四边形。

1. 连接AC,证明四边形的对角线互相平分.

2. 如图,若$△ ADE ≌ △ CBF$,点E、F分别为AB、CD的中点,BD是对角线,AG // DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)求证:若四边形BFDE是菱形,则四边形AGBD是矩形;
(3)在问题2中应增加什么条件,才能判定矩形AGBD是正方形?

(1) 证明：
∵ $△ ADE ≌ △ CBF$，
∴ $AD = BC$，$AE = CF$。
∵ 点E、F分别为AB、CD的中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$，
∴ $AB = CD$。
∵ 四边形ABCD中两组对边分别相等，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
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(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD // BC$，即$AD // BG$。
又∵ $AG // DB$，
∴ 四边形AGBD是平行四边形。
∵ 四边形BFDE是菱形，
∴ $DE = BE$。
∵ E是AB的中点，
∴ $AE = BE$，
∴ $AE = BE = DE$，
∴ $∠ DAE = ∠ ADE$，$∠ EBD = ∠ EDB$。
∵ $∠ DAE + ∠ ADE + ∠ EBD + ∠ EDB = 180°$，
∴ $2∠ ADE + 2∠ EDB = 180°$，即$∠ ADE + ∠ EDB = 90°$，
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ 平行四边形AGBD是矩形。
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(3) 解：
可添加条件$AD = BD$（或$DE ⊥ AB$，答案不唯一，合理即可），此时有一组邻边相等的矩形AGBD即为正方形。