例2 如图，平行于$BC$的直线$DE$把$\bigtriangleup ABC$分成的两部分面积相等，则$\frac{AD}{AB} =$.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

由题意，$DE // BC$，所以$\triangle ADE \sim \triangle ABC$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \left( \frac{AD}{AB} \right)^2$。
由题意，$S_{\triangle ADE} = S_{ 四边形 BCED}$，所以$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2}$。
因此，$\left( \frac{AD}{AB} \right)^2 = \frac{1}{2}$。
解得$\frac{AD}{AB} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

1. (兰州中考)如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$AB = 12$，$AC = 10$，$BC = 9$，$AD$是$BC$边上的高.将$\bigtriangleup ABC$按图示的方式折叠，使点$A$与点$D$重合，折痕为$EF$，则$\bigtriangleup DEF$的周长为.

15.5

在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD为BC边上的高。由折叠性质知，EF垂直平分AD，故EF⊥AD。又AD⊥BC，所以EF//BC，得△AEF∽△ABC。
设AD中点为O，则AO=AD/2，△AEF与△ABC的相似比为AO/AD=1/2。△ABC周长=12+10+9=31，故△AEF周长=31×1/2=15.5。
因折叠后AE=DE，AF=DF，所以△DEF周长=DE+EF+FD=AE+EF+AF=△AEF周长=15.5。

2. (武汉中考)如图，$DE$平分等边三角形$ABC$的面积，折叠$\bigtriangleup BDE$得到$\bigtriangleup FDE$，$AC$分别与$DF$，$EF$相交于点$G$，$H$.若$DG = m$，$EH = n$，用含$m$，$n$的式子表示$GH$的长是.

$\sqrt{m^2 + n^2}$

根据折叠的性质，得到$\bigtriangleup BDE \cong \bigtriangleup FDE$。
由于$DE$平分等边三角形$ABC$的面积，
所以$S_{四边形ACED} = S_{\bigtriangleup BDE} = S_{\bigtriangleup FDE}$。
由此可以推出$S_{\bigtriangleup FHG} = S_{\bigtriangleup ADG} + S_{\bigtriangleup CHE}$。
根据$\angle A = \angle B = \angle C = 60°$，
可以证明$\bigtriangleup ADG \sim \bigtriangleup FHG$，$\bigtriangleup CHE \sim \bigtriangleup FHG$。
因此，$\frac{S_{\bigtriangleup ADG}}{S_{\bigtriangleup FHG}} = \left(\frac{DG}{GH}\right)^2 = \frac{m^2}{GH^2}$，
$\frac{S_{\bigtriangleup CHE}}{S_{\bigtriangleup FHG}} = \left(\frac{EH}{GH}\right)^2 = \frac{n^2}{GH^2}$。
所以$\frac{S_{\bigtriangleup ADG}}{S_{\bigtriangleup FHG}} + \frac{S_{\bigtriangleup CHE}}{S_{\bigtriangleup FHG}} = \frac{m^2 + n^2}{GH^2} = \frac{S_{\bigtriangleup ADG} + S_{\bigtriangleup CHE}}{S_{\bigtriangleup FHG}} = 1$。
因此$GH^2 = m^2 + n^2$，
所以$GH = \sqrt{m^2 + n^2}$。