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【变式2】已知大家以相同的效率做某件工作，$a$人做$b$天可以完工。若增加$c$人，求提前完工的天数。
答案
工作总量为 $a × b = ab$（设每人每天效率为1）。
增加$c$人后人数为$a + c$，所需时间为$\frac{ab}{a + c}$天。
提前完工天数为$b - \frac{ab}{a + c}$。
化简：$b - \frac{ab}{a + c} = \frac{b(a + c) - ab}{a + c} = \frac{ab + bc - ab}{a + c} = \frac{bc}{a + c}$。
结论：提前完工的天数为$\frac{bc}{a + c}$。
增加$c$人后人数为$a + c$，所需时间为$\frac{ab}{a + c}$天。
提前完工天数为$b - \frac{ab}{a + c}$。
化简：$b - \frac{ab}{a + c} = \frac{b(a + c) - ab}{a + c} = \frac{ab + bc - ab}{a + c} = \frac{bc}{a + c}$。
结论：提前完工的天数为$\frac{bc}{a + c}$。
1. 已知$a^2 = 3$，则$\frac{2a^3}{a - 1}+\frac{a}{2(1 - a)}·4a$的值为()。
A.6
B.-6
C.3
D.9
A.6
B.-6
C.3
D.9
答案
A
解析
首先对原式进行化简：
$\frac{2a^{3}}{a - 1} + \frac{a}{2(1 - a)} · 4a = \frac{2a^{3}}{a - 1} - \frac{2a^{2}}{a - 1}$
$=\frac{2a^{3} - 2a^{2}}{a - 1}$
$=\frac{2a^{2}(a - 1)}{a - 1}$
因为$a^{2}=3$，且$a\neq1$（分式分母不能为$0$，若$a = 1$，原式分母$a - 1=0$，无意义），则：
$\frac{2a^{2}(a - 1)}{a - 1}=2a^{2}$
把$a^{2}=3$代入$2a^{2}$，可得$2×3 = 6$。
$\frac{2a^{3}}{a - 1} + \frac{a}{2(1 - a)} · 4a = \frac{2a^{3}}{a - 1} - \frac{2a^{2}}{a - 1}$
$=\frac{2a^{3} - 2a^{2}}{a - 1}$
$=\frac{2a^{2}(a - 1)}{a - 1}$
因为$a^{2}=3$，且$a\neq1$（分式分母不能为$0$，若$a = 1$，原式分母$a - 1=0$，无意义），则：
$\frac{2a^{2}(a - 1)}{a - 1}=2a^{2}$
把$a^{2}=3$代入$2a^{2}$，可得$2×3 = 6$。
2. 如果$3x - 2y = 0$，那么代数式$\left(\frac{x}{y}+1\right)·\frac{3x}{x + y}$的值为()。
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
由$3x - 2y = 0$得$3x = 2y$，即$y = \frac{3}{2}x$。
$\left(\frac{x}{y} + 1\right)·\frac{3x}{x + y} = \left(\frac{x + y}{y}\right)·\frac{3x}{x + y} = \frac{3x}{y}$。
将$y = \frac{3}{2}x$代入，得$\frac{3x}{\frac{3}{2}x} = 2$。
$\left(\frac{x}{y} + 1\right)·\frac{3x}{x + y} = \left(\frac{x + y}{y}\right)·\frac{3x}{x + y} = \frac{3x}{y}$。
将$y = \frac{3}{2}x$代入，得$\frac{3x}{\frac{3}{2}x} = 2$。
3. 如果$m + n = 1$，那么代数式$\left(1-\frac{m}{m - n}\right)·\frac{m^2 - n^2}{n}$的值为()。
A.-1
B.1
C.-2
D.2
A.-1
B.1
C.-2
D.2
答案
A
解析
$\begin{aligned}&\left(1 - \frac{m}{m - n}\right)·\frac{m^2 - n^2}{n}\\=&\left(\frac{m - n}{m - n} - \frac{m}{m - n}\right)·\frac{(m + n)(m - n)}{n}\\=&\frac{m - n - m}{m - n}·\frac{(m + n)(m - n)}{n}\\=&\frac{-n}{m - n}·\frac{(m + n)(m - n)}{n}\\=&-(m + n)\end{aligned}$
因为$m + n = 1$，所以原式$=-1$。
因为$m + n = 1$，所以原式$=-1$。
4. 当$|a| = 5$时，代数式$\left(2-\frac{1}{a - 2}\right)÷\frac{a - 5}{a^2 - 4}$的值为。
答案
$-\frac{9}{2}$
解析
先化简代数式，括号内通分：$2 - \frac{1}{a - 2} = \frac{2(a - 2) - 1}{a - 2} = \frac{2a - 5}{a - 2}$；除法变乘法：$\frac{2a - 5}{a - 2} × \frac{a^2 - 4}{a - 5} = \frac{2a - 5}{a - 2} × \frac{(a - 2)(a + 2)}{a - 5} = \frac{(2a - 5)(a + 2)}{a - 5}$。由$|a| = 5$得$a = ±5$，又分母不为0，$a ≠ 5$（否则$a - 5 = 0$），故$a = -5$。代入得：$\frac{(2×(-5) - 5)(-5 + 2)}{-5 - 5} = \frac{(-15)(-3)}{-10} = -\frac{9}{2}$。
5. 先化简，再求值：$\frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1}÷\left(1+\frac{2}{x - 1}\right)$，其中$x = 4$。
答案
$\frac{1}{3}$
解析
解：
1. 化简原式
对括号内通分：
$1 + \frac{2}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 2}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$
除法变乘法（除以一个分式等于乘它的倒数）：
$\frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x - 1)^2} · \frac{x - 1}{x + 1}$
约分：
$\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$
2. 代入求值
当 $x = 4$ 时，原式 $= \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$
1. 化简原式
对括号内通分：
$1 + \frac{2}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 2}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$
除法变乘法（除以一个分式等于乘它的倒数）：
$\frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x - 1)^2} · \frac{x - 1}{x + 1}$
约分：
$\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$
2. 代入求值
当 $x = 4$ 时，原式 $= \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$
1. 计算$1-\frac{3a}{2b}-\frac{3a}{2b}·\frac{2b}{2a}$，结果是()。
A.$\frac{a - b}{a}$
B.$\frac{b - a}{b}$
C.$\frac{3a - 2b}{3a}$
D.$\frac{-b - 3a}{2b}$
A.$\frac{a - b}{a}$
B.$\frac{b - a}{b}$
C.$\frac{3a - 2b}{3a}$
D.$\frac{-b - 3a}{2b}$
答案
D
解析
原式$1 - \frac{3a}{2b} - \frac{3a}{2b} · \frac{2b}{2a}$
首先处理乘法部分：
$\frac{3a}{2b} · \frac{2b}{2a} = \frac{3a · 2b}{2b · 2a} = \frac{3}{2}$，
将乘法结果代入原式：
$1 - \frac{3a}{2b} - \frac{3}{2}$
$= \frac{2b}{2b} - \frac{3a}{2b} - \frac{3b}{2b}$
$= \frac{2b - 3a - 3b}{2b}$
$= \frac{-b - 3a}{2b}$
首先处理乘法部分：
$\frac{3a}{2b} · \frac{2b}{2a} = \frac{3a · 2b}{2b · 2a} = \frac{3}{2}$，
将乘法结果代入原式：
$1 - \frac{3a}{2b} - \frac{3}{2}$
$= \frac{2b}{2b} - \frac{3a}{2b} - \frac{3b}{2b}$
$= \frac{2b - 3a - 3b}{2b}$
$= \frac{-b - 3a}{2b}$
$2. $计算$\left(\frac{y}{2x}\right)^2·\frac{4x}{y}-\frac{x}{y}÷\frac{x^2}{2y},$结果为 。
答案
$\frac{y - 2}{x}$（由于题目要求填空，将答案以表达式形式填写在横线处）
解析
首先计算 $\left(\frac{y}{2x}\right)^2$：
$\left(\frac{y}{2x}\right)^2 = \frac{y^2}{4x^2}$
接着计算 $\frac{x}{y} ÷ \frac{x^2}{2y}$：
$\frac{x}{y} ÷ \frac{x^2}{2y} = \frac{x}{y} · \frac{2y}{x^2} = \frac{2}{x}$
现在，将上述两部分的结果代入原式：
$\frac{y^2}{4x^2} · \frac{4x}{y} - \frac{2}{x}$
$= \frac{y^2 · 4x}{4x^2 · y} - \frac{2}{x}$
$= \frac{y}{x} - \frac{2}{x}$
$= \frac{y - 2}{x}$
$\left(\frac{y}{2x}\right)^2 = \frac{y^2}{4x^2}$
接着计算 $\frac{x}{y} ÷ \frac{x^2}{2y}$：
$\frac{x}{y} ÷ \frac{x^2}{2y} = \frac{x}{y} · \frac{2y}{x^2} = \frac{2}{x}$
现在，将上述两部分的结果代入原式：
$\frac{y^2}{4x^2} · \frac{4x}{y} - \frac{2}{x}$
$= \frac{y^2 · 4x}{4x^2 · y} - \frac{2}{x}$
$= \frac{y}{x} - \frac{2}{x}$
$= \frac{y - 2}{x}$
3. 计算：
$（1）\frac{a^2 + 2a}{a}·\frac{a}{a^2 - 4}-\frac{2}{a - 2};（2）\left(1+\frac{1}{x}\right)÷\frac{x^2 + x}{x};$
$（3）\frac{a^2 - b^2}{a}÷\left(a+\frac{b^2 - 2ab}{a}\right).$
$（1）\frac{a^2 + 2a}{a}·\frac{a}{a^2 - 4}-\frac{2}{a - 2};（2）\left(1+\frac{1}{x}\right)÷\frac{x^2 + x}{x};$
$（3）\frac{a^2 - b^2}{a}÷\left(a+\frac{b^2 - 2ab}{a}\right).$
答案
（1）原式$=\frac{a(a+2)}{a}·\frac{a}{(a-2)(a+2)}-\frac{2}{a-2}$
$=\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a-2}$
$=\frac{a-2}{a-2}=1$
（2）原式$=\frac{x+1}{x}÷\frac{x(x+1)}{x}$
$=\frac{x+1}{x}·\frac{x}{x(x+1)}$
$=\frac{1}{x}$
（3）原式$=\frac{(a-b)(a+b)}{a}÷\frac{a^2+b^2-2ab}{a}$
$=\frac{(a-b)(a+b)}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}$
$=\frac{a+b}{a-b}$
$=\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a-2}$
$=\frac{a-2}{a-2}=1$
（2）原式$=\frac{x+1}{x}÷\frac{x(x+1)}{x}$
$=\frac{x+1}{x}·\frac{x}{x(x+1)}$
$=\frac{1}{x}$
（3）原式$=\frac{(a-b)(a+b)}{a}÷\frac{a^2+b^2-2ab}{a}$
$=\frac{(a-b)(a+b)}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}$
$=\frac{a+b}{a-b}$
