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14. ($★$)图$23 - 12$中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是【
C
】答案
C
解析
A是轴对称图形，不是中心对称图形；B是轴对称图形，不是中心对称图形；C既是轴对称图形，也是中心对称图形；D是轴对称图形，不是中心对称图形。
15. ($★$)图$23 - 13$所示的图案通过旋转能与自身重合,则它至少绕它的中心旋转了【
A.$45^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$180^{\circ}$
A
】A.$45^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$180^{\circ}$
答案
A
解析
观察图案，其由8个相同的基本图形均匀分布在圆周上。周角为360°，故最小旋转角为360°÷8=45°。
16. ($★$)如图$23 - 14$,$□ ABCD的中心在原点O$,$AD// BC$,已知点$D(3,2)$、点$C(1,-2)$,则点$A$、点$B$的坐标分别为
$(-1,2)$、$(-3,-2)$
.答案
$(-1,2)$、$(-3,-2)$
解析
因为平行四边形ABCD的中心在原点O，所以原点O是对角线AC和BD的中点。设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$。
对于对角线AC，中点O的坐标为$(\frac{x_1 + 1}{2},\frac{y_1 + (-2)}{2})=(0,0)$，则$\frac{x_1 + 1}{2}=0$，$\frac{y_1 - 2}{2}=0$，解得$x_1=-1$，$y_1=2$，即点A$(-1,2)$。
对于对角线BD，中点O的坐标为$(\frac{x_2 + 3}{2},\frac{y_2 + 2}{2})=(0,0)$，则$\frac{x_2 + 3}{2}=0$，$\frac{y_2 + 2}{2}=0$，解得$x_2=-3$，$y_2=-2$，即点B$(-3,-2)$。
对于对角线AC，中点O的坐标为$(\frac{x_1 + 1}{2},\frac{y_1 + (-2)}{2})=(0,0)$，则$\frac{x_1 + 1}{2}=0$，$\frac{y_1 - 2}{2}=0$，解得$x_1=-1$，$y_1=2$，即点A$(-1,2)$。
对于对角线BD，中点O的坐标为$(\frac{x_2 + 3}{2},\frac{y_2 + 2}{2})=(0,0)$，则$\frac{x_2 + 3}{2}=0$，$\frac{y_2 + 2}{2}=0$，解得$x_2=-3$，$y_2=-2$，即点B$(-3,-2)$。
17. ($★★$)如图$23 - 15$,将$\triangle ABC绕点C(0,\sqrt{3})旋转180^{\circ}得到\triangle A'B'C$,设点$A的坐标为(a,b)$,则点$A'$的坐标为【
A.$(-a,-b)$
B.$(a,-b + 2\sqrt{3})$
C.$(-a,-b+\sqrt{3})$
D.$(-a,-b + 2\sqrt{3})$
D
】A.$(-a,-b)$
B.$(a,-b + 2\sqrt{3})$
C.$(-a,-b+\sqrt{3})$
D.$(-a,-b + 2\sqrt{3})$
答案
D
解析
设点 $A$ 的坐标为 $(a, b)$，点 $C$ 的坐标为 $(0, \sqrt{3})$。
将 $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 旋转 $180°$ 得到 $\triangle A'B'C$，点 $A'$ 是点 $A$ 关于点 $C$ 的中心对称点。
设点 $A'$ 的坐标为 $(x, y)$，则：
$C$ 为 $A$ 和 $A'$ 的中点，即：
$\left( \frac{a + x}{2}, \frac{b + y}{2} \right) = (0, \sqrt{3})$，
由此得到：
$\frac{a + x}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -a$，
$\frac{b + y}{2} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad y = -b + 2\sqrt{3}$，
因此，点 $A'$ 的坐标为 $(-a, -b + 2\sqrt{3})$。
将 $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 旋转 $180°$ 得到 $\triangle A'B'C$，点 $A'$ 是点 $A$ 关于点 $C$ 的中心对称点。
设点 $A'$ 的坐标为 $(x, y)$，则：
$C$ 为 $A$ 和 $A'$ 的中点，即：
$\left( \frac{a + x}{2}, \frac{b + y}{2} \right) = (0, \sqrt{3})$，
由此得到：
$\frac{a + x}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -a$，
$\frac{b + y}{2} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad y = -b + 2\sqrt{3}$，
因此，点 $A'$ 的坐标为 $(-a, -b + 2\sqrt{3})$。
18. ($★★$)($2022·$遂宁)图$23 - 16$所示的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是【
D
】答案
D
解析
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，科克曲线是分形图形，通常不具备明显的对称中心；笛卡尔心形线是轴对称图形，但不是中心对称图形；阿基米德螺旋线是旋转对称图形，非中心对称；赵爽弦图（正方形内弦图）既是轴对称图形（有4条对称轴），又是中心对称图形（对称中心为正方形中心）。
19. ($★★$)($2022·$内江)如图$23 - 17$,在平面直角坐标系中,点$B$,$C$,$E在y$轴上,点$C的坐标为(0,1)$,$AC = 2$,$Rt\triangle ODE是Rt\triangle ABC$经过某些变换得到的,则正确的变换是【
A.$\triangle ABC绕点C逆时针旋转90^{\circ}$,再向下平移$1$个单位长度
B.$\triangle ABC绕点C顺时针旋转90^{\circ}$,再向下平移$1$个单位长度
C.$\triangle ABC绕点C逆时针旋转90^{\circ}$,再向下平移$3$个单位长度
D.$\triangle ABC绕点C顺时针旋转90^{\circ}$,再向下平移$3$个单位长度
D
】A.$\triangle ABC绕点C逆时针旋转90^{\circ}$,再向下平移$1$个单位长度
B.$\triangle ABC绕点C顺时针旋转90^{\circ}$,再向下平移$1$个单位长度
C.$\triangle ABC绕点C逆时针旋转90^{\circ}$,再向下平移$3$个单位长度
D.$\triangle ABC绕点C顺时针旋转90^{\circ}$,再向下平移$3$个单位长度
答案
D
解析
由题意，点C(0,1)，B、C在y轴，∠ACB=90°，AC=2且AC⊥BC（BC在y轴），故AC为水平线段，A(-2,1)，B(0,1+h)（h=BC长度）。△ODE中，O(0,0)，E在y轴负半轴，D在第四象限，DE⊥OE（E为直角顶点）。
△ABC绕点C(0,1)顺时针旋转90°：
向量CA=(-2,0)顺时针旋转90°得(0,2)，A→(0,1)+(0,2)=(0,3)；
向量CB=(0,h)顺时针旋转90°得(h,0)，B→(0,1)+(h,0)=(h,1)；
C点不变(0,1)。
再向下平移3个单位：
(0,3)→(0,0)=O；(h,1)→(h,-2)=D；(0,1)→(0,-2)=E，即得△ODE。
变换为：绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位。
△ABC绕点C(0,1)顺时针旋转90°：
向量CA=(-2,0)顺时针旋转90°得(0,2)，A→(0,1)+(0,2)=(0,3)；
向量CB=(0,h)顺时针旋转90°得(h,0)，B→(0,1)+(h,0)=(h,1)；
C点不变(0,1)。
再向下平移3个单位：
(0,3)→(0,0)=O；(h,1)→(h,-2)=D；(0,1)→(0,-2)=E，即得△ODE。
变换为：绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位。
