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1. 设$⊙O的半径为r$,点$P到圆心的距离OP = d$,则有：
点$P在圆外\Leftrightarrow$
点$P在圆外\Leftrightarrow$
$d＞r$
；点$P在圆上\Leftrightarrow$$d = r$
；点$P在圆内\Leftrightarrow$$d＜r$
。答案
点$P$在圆外$\Leftrightarrow d＞r$；点$P$在圆上$\Leftrightarrow d = r$；点$P$在圆内$\Leftrightarrow d＜r$。
2. (1) 不在同一条直线上的三个点
(2) 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的
确定
一个圆。(2) 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的
外接圆
,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线
的交点,叫做三角形的外心
；外心到三角形的三个顶点的距离相等
。答案
(1)确定；(2)外接圆；垂直平分线；外心；距离相等
解析
(1)根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的定理可得答案。(2)由三角形外接圆的定义及外心的概念可知，经过三角形三个顶点的圆叫外接圆，其圆心是三边垂直平分线的交点，称为外心，外心到三顶点距离相等。
3. 假设命题的结论不成立,经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做
反证法
。答案
【解析】：题中描述的方法是假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法。
【答案】：反证法（题目要求填空形式可能为文本填写，若为选择则根据选项对应填写，此处按要求若为填空则答案为反证法文字，若选择题则对应选项符号，因未设选项则按指示填文字相关规范理解，按给出答案形式要求，这里填文字对应的概念名称）根据要求实际此处应明确为如题目空白填写“反证法”，按答案格式要求填文字则：
【答案】：反证法
【答案】：反证法（题目要求填空形式可能为文本填写，若为选择则根据选项对应填写，此处按要求若为填空则答案为反证法文字，若选择题则对应选项符号，因未设选项则按指示填文字相关规范理解，按给出答案形式要求，这里填文字对应的概念名称）根据要求实际此处应明确为如题目空白填写“反证法”，按答案格式要求填文字则：
【答案】：反证法
4. $⊙O的半径为10\mathrm{cm}$,$A$,$B$,$C三点到圆心的距离分别为8\mathrm{cm}$,$10\mathrm{cm}$,$12\mathrm{cm}$,则点$A$,$B$,$C与⊙O$的位置关系是：点$A$在
圆内
；点$B$在圆上
；点$C$在圆外
。答案
点$A$在圆内；点$B$在圆上；点$C$在圆外。
解析
本题可根据点与圆的位置关系的判定方法来判断点$A$、$B$、$C$与$\odot O$的位置关系。
设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心的距离$OP = d$，则有：
当$d\lt r$时，点$P$在$\odot O$内部；
当$d = r$时，点$P$在$\odot O$上；
当$d\gt r$时，点$P$在$\odot O$外部。
已知$\odot O$的半径$r = 10cm$，点$A$到圆心的距离$d_A = 8cm$，因为$8\lt 10$，即$d_A\lt r$，所以点$A$在$\odot O$内部。
点$B$到圆心的距离$d_B = 10cm$，因为$10 = 10$，即$d_B = r$，所以点$B$在$\odot O$上。
点$C$到圆心的距离$d_C = 12cm$，因为$12\gt 10$，即$d_C\gt r$，所以点$C$在$\odot O$外部。
设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心的距离$OP = d$，则有：
当$d\lt r$时，点$P$在$\odot O$内部；
当$d = r$时，点$P$在$\odot O$上；
当$d\gt r$时，点$P$在$\odot O$外部。
已知$\odot O$的半径$r = 10cm$，点$A$到圆心的距离$d_A = 8cm$，因为$8\lt 10$，即$d_A\lt r$，所以点$A$在$\odot O$内部。
点$B$到圆心的距离$d_B = 10cm$，因为$10 = 10$，即$d_B = r$，所以点$B$在$\odot O$上。
点$C$到圆心的距离$d_C = 12cm$，因为$12\gt 10$，即$d_C\gt r$，所以点$C$在$\odot O$外部。
5. 平面内,经过已知两点$A$,$B的圆的圆心P$在
线段$AB$的垂直平分线上
。答案
线段$AB$的垂直平分线上
解析
根据圆的定义，圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，圆心应到两点$A$，$B$的距离相等，在平面内，到定点$A$与定点$B$的距离相等的点在线段$AB$的垂直平分线上，所以经过$A$，$B$两点的圆的圆心$P$在线段$AB$的垂直平分线上。
6. 已知$⊙O的半径为5$,圆心$O的坐标为(0,0)$,点$P的坐标为(3,4)$,那么点$P与⊙O$的位置关系为【
A.点$P在⊙O$内
B.点$P在⊙O$外
C.点$P在⊙O$上
D.点$P可能在⊙O$内,也可能在$⊙O$外
C
】A.点$P在⊙O$内
B.点$P在⊙O$外
C.点$P在⊙O$上
D.点$P可能在⊙O$内,也可能在$⊙O$外
答案
C
解析
已知圆心$O$的坐标为$(0,0)$，点$P$的坐标为$(3,4)$。
根据两点间距离公式，点$P$到圆心$O$的距离为：
$|OP| = \sqrt{(3-0)^{2} + (4-0)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
已知$⊙O$的半径为$5$，比较点$P$到圆心$O$的距离$|OP|$与半径$r$：
因为$|OP| = r = 5$，所以点$P$在$⊙O$上。
根据两点间距离公式，点$P$到圆心$O$的距离为：
$|OP| = \sqrt{(3-0)^{2} + (4-0)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
已知$⊙O$的半径为$5$，比较点$P$到圆心$O$的距离$|OP|$与半径$r$：
因为$|OP| = r = 5$，所以点$P$在$⊙O$上。
7. 若点$A到⊙O上的点的最大距离为5\mathrm{cm}$,最小距离为$3\mathrm{cm}$,则$⊙O$的半径为
4或1
$\mathrm{cm}$。答案
4或1
解析
分两种情况讨论：
1. 点A在⊙O外：设半径为r，OA=d，则最大距离d+r=5，最小距离d-r=3，联立解得r=1；
2. 点A在⊙O内：设半径为r，OA=d，则最大距离r+d=5，最小距离r-d=3，联立解得r=4。
综上，⊙O的半径为4或1。
1. 点A在⊙O外：设半径为r，OA=d，则最大距离d+r=5，最小距离d-r=3，联立解得r=1；
2. 点A在⊙O内：设半径为r，OA=d，则最大距离r+d=5，最小距离r-d=3，联立解得r=4。
综上，⊙O的半径为4或1。
8. 下列说法不正确的是【
A.任何一个三角形都有外接圆
B.等边三角形的外心是这个三角形的外接圆圆心
C.直角三角形的外心是其斜边的中点
D.一个三角形的外心不可能在三角形的外部
D
】A.任何一个三角形都有外接圆
B.等边三角形的外心是这个三角形的外接圆圆心
C.直角三角形的外心是其斜边的中点
D.一个三角形的外心不可能在三角形的外部
答案
D
解析
A：根据三角形外接圆的定义，三个顶点不在同一直线上的三点确定一个圆，而三角形三个顶点不在同一直线上，所以任何一个三角形都有外接圆，该选项正确。
B：等边三角形的三条边相等，三个角相等，其外接圆的圆心（外心）是三条边的垂直平分线的交点，也就是这个三角形的外接圆圆心，该选项正确。
C：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等，所以直角三角形的外心是其斜边的中点，该选项正确。
D：钝角三角形的外心在三角形的外部，所以“一个三角形的外心不可能在三角形的外部”这一说法错误。
B：等边三角形的三条边相等，三个角相等，其外接圆的圆心（外心）是三条边的垂直平分线的交点，也就是这个三角形的外接圆圆心，该选项正确。
C：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等，所以直角三角形的外心是其斜边的中点，该选项正确。
D：钝角三角形的外心在三角形的外部，所以“一个三角形的外心不可能在三角形的外部”这一说法错误。
9. 如图$24.2 - 1$,$\triangle ABC内接于⊙O$,圆的半径为$7$,$\angle BAC = 60^{\circ}$,则弦$BC$的长度为
7√3
。答案
7√3
解析
连接OB、OC，由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=120°。过O作OD⊥BC于D，则BD=CD，∠BOD=∠COD=60°。在Rt△BOD中，OB=7，sin60°=BD/OB，BD=7×√3/2=7√3/2，BC=2BD=7√3。
10. 在$\triangle ABC$中,$AB = 8\mathrm{cm}$,$AC = 15\mathrm{cm}$,$BC = 17\mathrm{cm}$,则此三角形的外心在
$BC$的中点
,外接圆的半径为$8.5$
$\mathrm{cm}$。答案
$8.5$；$8.5$。
解析
首先，根据勾股定理的逆定理，若在三角形中，最长的边的平方等于其他两边的平方和，则这个三角形是直角三角形。
对于$\triangle ABC$，有$AB^{2} + AC^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，同时$BC^{2} = 17^{2} = 289$。
因为$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
直角三角形的外心位于斜边的中点，因此外心在$BC$（或斜边）的中点。
至于外接圆的半径，直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，即$\frac{BC}{2} = \frac{17}{2} = 8.5（cm）$。
对于$\triangle ABC$，有$AB^{2} + AC^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，同时$BC^{2} = 17^{2} = 289$。
因为$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
直角三角形的外心位于斜边的中点，因此外心在$BC$（或斜边）的中点。
至于外接圆的半径，直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，即$\frac{BC}{2} = \frac{17}{2} = 8.5（cm）$。
