9. ($★$)下列多项式不是完全平方式的是【】
A.$4a^{2}-4a-1$
B.$4a^{2}+4a+1$
C.$a^{2}-a+\frac{1}{4}$
D.$a^{2}+a+\frac{1}{4}$

A

完全平方式需满足$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
A选项：$4a^2-4a-1$，常数项为$-1$，不符合完全平方式常数项为正的要求，且$-4a$并非$2ab$形式（因$b^2=-1$无意义），不是完全平方式；
B选项：$4a^2+4a+1=(2a+1)^2$，是完全平方式；
C选项：$a^2 - a + \frac{1}{4}=(a - \frac{1}{2})^2$，是完全平方式；
D选项：$a^2 + a + \frac{1}{4}=(a + \frac{1}{2})^2$，是完全平方式。

10. ($★$)一元二次方程$x^{2}-1= 0$的根为【】
A.$x= 1$
B.$x= -1$
C.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -1$
D.$x= 2$

C

本题可通过移项、开平方的方法求解一元二次方程$x^{2}-1 = 0$。
步骤一：移项
对$x^{2}-1 = 0$进行移项，将常数项$-1$移到等号右边，得到$x^{2}=1$。
步骤二：求解$x$
根据平方根的定义，若$x^{2}=a$（$a\geq0$），则$x=\pm\sqrt{a}$。
因为$x^{2}=1$，所以$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$，即$x_{1}= 1$，$x_{2}= -1$。

11. ($★★$)已知关于$x的一元二次方程m(x - h)^{2}-k= 0$($m$,$h$,$k均为常数且m\neq0$)的解是$x_{1}= 3$,$x_{2}= 6$,则关于$x的一元二次方程m(x - h - 1)^{2}= k$的解是【】
A.$x_{1}= -3$,$x_{2}= -6$
B.$x_{1}= -4$,$x_{2}= -7$
C.$x_{1}= 4$,$x_{2}= 7$
D.$x_{1}= 3$,$x_{2}= 6$

C

已知方程$m(x - h)^2 = k$的解为$x_1 = 3$，$x_2 = 6$。对于方程$m(x - h - 1)^2 = k$，令$y = x - 1$，则方程可化为$m(y - h)^2 = k$，此方程与$m(x - h)^2 = k$形式相同，故其解为$y_1 = 3$，$y_2 = 6$。即$x - 1 = 3$或$x - 1 = 6$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 7$。

12. ($★★$)若$(a + b + 1)(a + b - 1)= 15$,则$\sqrt{a + b}$的值是【】
A.$\pm2$
B.$2$
C.$\pm4$
D.$4$

B

设$a + b = m$，则原方程可化为$(m + 1)(m - 1) = 15$，即$m^2 - 1 = 15$，解得$m^2 = 16$，所以$m = \pm 4$。
由于$\sqrt{a + b}$中的被开方数需非负，即$m \geq 0$，故$m = 4$。
因此$\sqrt{a + b} = \sqrt{4} = 2$。

13. ($★★$)若关于$x的一元二次方程ax^{2}= b的两根分别为m + 1与2m - 4$,则方程的根为.

$2$或$- 2$（或 $\pm 2$）

根据题意，一元二次方程 $ax^{2} = b$ 的两个根为 $m + 1$ 和 $2m - 4$。
由于一元二次方程 $ax^{2} = b$ 的两个根互为相反数（因为 $x^{2} = \frac{b}{a}$ 的解为 $\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$），所以有：
$m + 1 + 2m - 4 = 0$，
整理得：
$3m - 3 = 0$，
解得：
$m = 1$，
将 $m = 1$ 代入 $m + 1$ 和 $2m - 4$，得到方程的两个根分别为：
$m + 1 = 2$，
$2m - 4 = -2$，
所以，方程的根为 $\pm 2$（或写为 $2$ 和 $-2$）。

14. ($★★$)解下列方程：
(1)$25x^{2}-10x+1= 9$；
(2)$x^{2}-x+\frac{1}{4}= -\frac{1}{2}$；
(3)$(2x - 1)^{2}= (x + 3)^{2}$；
(4)$20(x - 1)^{2}= 5(x + 3)^{2}$.

(1)
首先将方程$25x^{2}-10x + 1 = 9$化为标准形式：
$25x^{2}-10x-8 = 0$，
其中$a = 25$，$b=-10$，$c = - 8$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4×25×(-8)=100 + 800 = 900$，
$x=\frac{10\pm\sqrt{900}}{50}=\frac{10\pm30}{50}$，
$x_1=\frac{10 + 30}{50}=\frac{4}{5}$，$x_2=\frac{10-30}{50}=-\frac{2}{5}$。
(2)
方程$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$化为标准形式：
$x^{2}-x+\frac{3}{4}=0$，
其中$a = 1$，$b=-1$，$c=\frac{3}{4}$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×\frac{3}{4}=1 - 3=-2\lt0$，
所以此方程无实数解。
(3)
由$(2x - 1)^{2}=(x + 3)^{2}$，
开方得$2x - 1=\pm(x + 3)$，
当$2x - 1=x + 3$时，$2x-x=3 + 1$，解得$x = 4$；
当$2x - 1=-(x + 3)$时，$2x-1=-x - 3$，$2x+x=-3 + 1$，$3x=-2$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
所以$x_1 = 4$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(4)
方程$20(x - 1)^{2}=5(x + 3)^{2}$，
两边同时除以$5$得$4(x - 1)^{2}=(x + 3)^{2}$，
开方得$2(x - 1)=\pm(x + 3)$，
当$2(x - 1)=x + 3$时，$2x-2=x + 3$，$2x-x=3 + 2$，解得$x = 5$；
当$2(x - 1)=-(x + 3)$时，$2x-2=-x - 3$，$2x+x=-3 + 2$，$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
所以$x_1 = 5$，$x_2=-\frac{1}{3}$。

15. ($★$)(2023·绵阳模拟)解方程：
$(x + 3)^{2}= 4(x - 2)^{2}$.

$x_1 = 7$，$x_2 = \frac{1}{3}$

$(x + 3)^2 = 4(x - 2)^2$
移项得：
$(x + 3)^2 - 4(x - 2)^2 = 0$
利用平方差公式分解：
$[(x + 3) - 2(x - 2)][(x + 3) + 2(x - 2)] = 0$
化简：
$(x + 3 - 2x + 4)(x + 3 + 2x - 4) = 0$
$(-x + 7)(3x - 1) = 0$
解得：
$-x + 7 = 0 \Rightarrow x_1 = 7$
$3x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{3}$
最终