21. (10分)如图,已知点P为∠AOB平分线上一点,PC$\perp$OA于点C,PH$\perp$OB于点H,∠OAP+∠OBP = 180°.求证：OA + OB = 2OC.

证明：
∵点P为∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PH⊥OB，
∴PC=PH（角平分线上的点到角两边距离相等），∠OCP=∠OHP=90°．
在Rt△OCP和Rt△OHP中，
$\left\{\begin{array}{l} OP=OP\\ PC=PH\end{array}\right.$，
∴Rt△OCP≌Rt△OHP（HL），
∴OC=OH（全等三角形对应边相等）．
∵∠OAP+∠OBP=180°，∠OBP+∠PBH=180°（邻补角定义），
∴∠OAP=∠PBH（同角的补角相等），即∠CAP=∠PBH．
在△ACP和△BHP中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CAP=∠PBH\\ ∠ACP=∠BHP=90°\\ PC=PH\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BHP（AAS），
∴AC=BH（全等三角形对应边相等）．
∵OA=OC+AC，OB=OH-BH，且OC=OH，AC=BH，
∴OA+OB=（OC+AC）+（OH-BH）=OC+AC+OC-AC=2OC．
即OA+OB=2OC．

证明：
∵点P为∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PH⊥OB，
∴PC=PH，∠PCO=∠PHO=90°，OC=OH。
∵∠OAP+∠OBP=180°，∠OBP+∠PBH=180°，
∴∠OAP=∠PBH。
在△PCA和△PHB中，
$\left\{\begin{array}{l}∠PAC=∠PBH\\∠PCA=∠PHB\\PC=PH\end{array}\right.$
∴△PCA≌△PHB(AAS)，
∴AC=BH。
∵OA=OC+AC，OB=OH-BH=OC-AC，
∴OA+OB=OC+AC+OC-AC=2OC。
即OA+OB=2OC。