1. 在下列方程组中,只有一个解的是()。
A.$\begin{cases}x + y = 1\\2x + 2y = 8\end{cases} $
B.$\begin{cases}x + y = 0\\2x + 2y = 1\end{cases} $
C.$\begin{cases}x + y = 1\\2x - 2y = 8\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y = 14\\2x + 2y = 8\end{cases} $

C

对于选项A：
$\begin{cases}x + y = 1 \quad (1) \\2x + 2y = 8 \quad (2)\end{cases}$
将方程
(1)乘以2得到：
$2x + 2y = 2 \quad (3)$
比较方程
(2)和方程
(3)，发现矛盾，所以方程组无解。
对于选项B：
$\begin{cases}x + y = 0 \quad (1) \\2x + 2y = 1 \quad (2)\end{cases}$
将方程
(1)乘以2得到：
$2x + 2y = 0 \quad (3)$
比较方程
(2)和方程
(3)，发现矛盾，所以方程组无解。
对于选项C：
$\begin{cases}x + y = 1 \quad (1) \\2x - 2y = 8 \quad (2)\end{cases}$
将方程
(1)乘以2得到：
$2x + 2y = 2 \quad (3)$
方程
(2)与方程
(3)相加，得到：
$4x = 10$
从中解得：
$x = \frac{5}{2}$
将 $x = \frac{5}{2}$ 代入方程
(1)得到：
$y = -\frac{3}{2}$
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = \frac{5}{2} \\y = -\frac{3}{2}\end{cases}$
方程组有唯一解。
对于选项D：
$\begin{cases}x + y = 14 \quad (1) \\2x + 2y = 8 \quad (2)\end{cases}$
将方程
(1)乘以2得到：
$2x + 2y = 28 \quad (3)$
比较方程
(2)和方程
(3)，发现矛盾，所以方程组无解。
综上所述，只有选项C的方程组有唯一解。
故答案为：C。

2. 已知 $\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases} $ 是关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + ny = 8\\mx - y = 2\end{cases} $ 的解,则 $m + 2n$ 的值为()。
A.$-\frac{5}{2}$
B.1
C.7
D.11

C

将$\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}3x + ny = 8,\\mx - y = 2.\end{cases}$
得到：
$\begin{cases}-3 + 2n = 8,\\-m - 2 = 2.\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2n = 11,\\-m = 4.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}n = \frac{11}{2},\\m = -4.\end{cases}$
所以$m + 2n = -4 + 2 × \frac{11}{2} = -4 + 11 = 7$。
故答案为：D（错误），C（正确选项的值为7）。

3. 若关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x - 2y = 1 - k\\2x + y = 2k\end{cases} $ 的解也是二元一次方程 $x - y = 1$ 的解,则 $k$ 的值是()。
A.-2
B.-1
C.0
D.1

A

根据题意，有方程组
$\begin{cases}x - 2y = 1 - k, (1) \\2x + y = 2k , (2)\\x - y = 1. (3)\end{cases}$
从
(3)式，得到
$x = 1 + y$.
(4)
将
(4)式代入
(1)式，得到
$1 + y - 2y = 1 - k$，
即$-y = -k$，
从而有$y = k$
(5)
再将
(4)式代入
(2)式，得到
$2(1 + y) + y = 2k$，
即$2 + 3y = 2k$
(6)
将
(5)式代入
(6)式，得到
$2 + 3k = 2k$，
解得$k = -2$。
故答案为：D（选项中的A对应-2，即选择A）: -2（按照题目要求，直接给出k的值，且k的值与选项A相匹配）。

4. 某地搭建了一批可容纳 6 人和 4 人的两种帐篷,正好共容纳 100 人,则搭建方案共有种。

8

设可容纳 6 人的帐篷有$x$顶，可容纳 4 人的帐篷有$y$顶。
根据题意得$6x + 4y = 100$，
化简得$y = 25 - \frac{3}{2}x$。
因为$x$，$y$均为非负整数，
所以$x$的取值必须使$y$为非负整数。
当$x = 0$时，$y = 25$；
当$x = 2$时，$y = 22$；
当$x = 4$时，$y = 19$；
当$x = 6$时，$y = 16$；
当$x = 8$时，$y = 13$；
当$x = 10$时，$y = 10$；
当$x = 12$时，$y = 7$；
当$x = 14$时，$y = 4$；
当$x = 16$时，$y = 1$。
共 9（原参考思路错误，实际按此计算为9组但x=0时是否符合实际题意未多考虑，按数学计算） - 特殊情况排除（x从2开始取整偶数到16共8种情况符合常理搭建有6人帐篷）：
实际符合题意搭建方案（$x$取正偶数，$y$取对应正整数）共 8 种。
故答案为 8。

5. 为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方将明文加密传输给接收方,接收方收到密文后解密还原为明文。已知某种加密规则为：明文 $a$,$b$ 对应的密文为 $a - 2b$,$2a + b$,例如 1,2 对应的密文是 -3,4,当接收方收到的密文是 1,7 时,解密得到的明文是。

3, 1

设明文为$a$，$b$，根据加密规则有：
$\begin{cases}a - 2b = 1, \\2a + b =7,\end{cases}$
将第一个方程乘以2后与第二个方程相减，以消去$a$：
$2(a - 2b) - (2a + b) = 2 × 1 - 7$，
$2a - 4b - 2a - b = 2 - 7$，
$-5b = -5$，
$b = 1$，
将 $b = 1$ 代入第一个方程 $a - 2b = 1$，解得：
$a - 2 × 1 = 1$，
$a = 3$，
因此，解密得到的明文是$a = 3$，$b = 1$。
故答案为：$3,1$。

6. 若关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}x + 2y = 3m - 1\\x - y = 5\end{cases} $ 的解满足 $2x + y = 1$,则 $m$ 的值为。

-1

由题意知方程组
$\begin{cases}x + 2y = 3m - 1 \quad (1) \\x - y = 5 \quad (2)\end{cases}$
的解满足 $2x + y = 1$
(3)。
首先，我们解方程组中的
(2)和
(3)两个方程：
从
(2)中，我们有 $x = y + 5$
(4)。
将
(4)代入
(3)，得到
$2(y + 5) + y = 1$
$2y + 10 + y = 1$
$3y = -9$
$y = -3$
将 $y = -3$ 代入
(4)，得到 $x = 2$。
接下来，将 $x = 2$ 和 $y = -3$ 代入
(1)，得到
$2 + 2×(-3) = 3m - 1$
$2 - 6 = 3m - 1$
$-4 = 3m - 1$
$3m = -3$
$m = -1$
故答案为：$-1$。

7. 已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程 $(2a - 1)x + (a - 1)y + 5 - 7a = 0$,当 $a$ 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一组公共解。求出这个方程的公共解。

$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=3\end{array}\right. $

将原方程$(2a - 1)x + (a - 1)y + 5 - 7a = 0$整理为关于$a$的方程：
$(2x + y - 7)a - x - y + 5 = 0$。
由于方程有一组公共解，那么该解与$a$的取值无关，因此可以得到以下方程组：
$\begin{cases}2x + y - 7 = 0, \\-x - y + 5 = 0.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
从第二个方程中，可以得到 $y = -x + 5$。
将这个表达式代入第一个方程，得到：
$2x - x + 5 - 7 = 0$，
解得$x = 2$。
将$x = 2$代入$y = -x + 5$，得到$y = 3$。
所以，这个方程的公共解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3. \end{cases}$