14. 如图所示,在△ABC中,AB= 4,BC= 8,P是AB边的中点,Q是BC边上一个动点,当BQ= 时,△BPQ与△BAC相似.

解：
∵P是AB中点，AB=4，
∴BP=2.
情况1：当△BPQ∽△BAC时
$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
即$\frac{2}{4}=\frac{BQ}{8}$，
解得$BQ=4$.
情况2：当△BPQ∽△BCA时
$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
即$\frac{2}{8}=\frac{BQ}{4}$，
解得$BQ=1$.
综上，BQ=1或4.
答案：1或4

15. 如图所示,AB是半圆O的直径,半径OC⊥AB于点O,D为半圆上一点,AC//OD,AD与OC相交于点E,连结CD,BD,有以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD= CD；③$CD^2= CE·CO$.其中正确的是.(填序号)

【解析】：
本题主要考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质。
对于结论①：
由于$OC\perp AB$，
根据垂直的定义，可知$\angle COB = 90^\circ$。
又因为$AC// OD$，
根据平行线的性质，可得$\angle CAB=\angle DOB$，$\angle ACO=\angle COD$，
又因为$OA=OC$，
所以$\angle CAB=\angle ACO$，
所以$\angle COD=\angle DOB$，即$OD$平分$\angle COB$。
所以结论①正确。
对于结论②：
由①得$\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{CD}$，
根据等弧对等弦，可得$BD=CD$。
所以结论②正确。
对于结论③：
连接$OD$，
因为$\angle OCD$为公共角，且由①知$\angle COD=\angle COB/2 = 45^\circ$，
又因为$OC=OD$（半径相等），
所以$\angle OCD=\angle ODC=45^\circ$，
从而$\angle CDE=90^\circ-\angle ODC = 45^\circ$。
在$\triangle CDE$和$\triangle OCD$中，
因为$\angle CDE=\angle COD=45^\circ$，$\angle OCD$为公共角，
所以$\triangle CDE\sim\triangle OCD$（AA相似）。
根据相似三角形的性质，有$CD/OC = CE/CD$，
从而$CD^2 = CE\cdot CO$。
所以结论③正确。
【答案】：①②③

16. 如图所示为某风车的平面示意图,其相同的四片叶片均匀分布,水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻,太阳光线恰好垂直于照射叶片OA,OB,此时各叶片的影子在点M的右侧形成线段CD,测得MC= 8.5m,CD= 13m,垂直于地面的木棒EF与影子FG的长度比为2∶3,则点O,M之间的距离为米.叶片转动时,叶片外端离地面的最大高度为米.

1. 首先求$OM$的长度：
设$OM = x$米，$OA = OB = r$米。
因为$EF:FG = 2:3$，由平行投影可知，$\frac{OM}{MC}=\frac{2}{3}$（同一时刻，不同物体的物高与影长成正比）。
已知$MC = 8.5$米，根据$\frac{OM}{MC}=\frac{2}{3}$，即$\frac{x}{8.5}=\frac{2}{3}$，解得$x=\frac{17}{3}$米。
2. 然后求叶片外端离地面的最大高度：
先求$r$的值，因为$\frac{OA + OM}{MC + CD}=\frac{2}{3}$（$OA$与$OM$的和是叶片外端到地面的最大高度的一部分，根据物高与影长的比例关系）。
已知$MC = 8.5$米，$CD = 13$米，$OM=\frac{17}{3}$米，代入$\frac{r + x}{8.5 + 13}=\frac{2}{3}$。
把$x=\frac{17}{3}$代入$\frac{r+\frac{17}{3}}{21.5}=\frac{2}{3}$，即$r+\frac{17}{3}=\frac{43}{3}$，解得$r=\frac{43 - 17}{3}=\frac{26}{3}$米。
叶片外端离地面的最大高度$h=r + x$，把$r=\frac{26}{3}$，$x=\frac{17}{3}$代入得$h=\frac{26 + 17}{3}+ \frac{17}{3}=\frac{43}{3}+\frac{17}{3}=20$米。
所以点$O$，$M$之间的距离为$\frac{17}{3}$米，叶片转动时，叶片外端离地面的最大高度为$20$米。
故答案依次为：$\frac{17}{3}$；$20$。

17. 如图所示,在△ABC中,点D在AC上,DE//BC,DF//AB.
(1)求证：△DFC∽△AED.
(2)若$CD= \frac{1}{3}AC$,求$\frac{S_{\triangle DFC}}{S_{\triangle AED}}$的值.

(1)证明：∵DE//BC，∴∠AED=∠B，∠ADE=∠C。
∵DF//AB，∴∠DFC=∠B，∠FDC=∠A。
∴∠AED=∠DFC，∠ADE=∠C。
∴△DFC∽△AED。
(2)解：设AC=3k，则CD=k，AD=AC-CD=2k。
∵DF//AB，∴△DFC∽△ABC，相似比为CD/AC=1/3。
∵DE//BC，∴△AED∽△ABC，相似比为AD/AC=2/3。
∴S△DFC/S△ABC=(1/3)²=1/9，S△AED/S△ABC=(2/3)²=4/9。
∴S△DFC/S△AED=(1/9)/(4/9)=1/4。