21. 已知二次函数$ y= a(x-1)(x-3) 的图象过点 (4,m),(p,n) $.
(1) 若$ m= 1 $,求a的值.
(2) 若$ a ＞ 0 $,当$ p= 2 $时,请比较m,n的大小关系.
(3) 求证：$ am+an ＞ 0 $.

【解析】：
本题主要考查二次函数的性质以及代数式的比较。
(1) 已知二次函数$y = a(x - 1)(x - 3)$的图象过点$(4, m)$，且$m = 1$，我们可以将点的坐标代入函数表达式中来求解$a$。
(2) 当$a ＞ 0$，且$p = 2$时，我们可以通过比较$m$和$n$的表达式来得出它们的大小关系。
(3) 要证明$am + an ＞ 0$，我们可以先表示出$m$和$n$，然后利用二次函数的性质进行推导。
【答案】：
(1)
解：由题意，函数图象过点$(4, 1)$，代入得：
$1 = a(4 - 1)(4 - 3)$，
$1 = 3a$，
解得：$a = \frac{1}{3}$。
(2)
解：当$p = 2$时，代入得：
$n = a(2 - 1)(2 - 3) = -a$，
已知$m = a(4 - 1)(4 - 3) = 3a$，
因为$a ＞ 0$，所以$3a ＞ -a$，
即$m ＞ n$。
(3)
证明：由题意，
$m = a(4 - 1)(4 - 3) = 3a$，
$n = a(p - 1)(p - 3)$，
所以：
$am + an = a(3a + a(p - 1)(p - 3))$
$= a(3a + ap^2 - 4ap + 3a)$
$= a(ap^2 - 4ap + 6a)$
$= a^2(p^2 - 4p + 6)$
$= a^2((p - 2)^2 + 2)$
由于$(p - 2)^2 \geq 0$，所以$(p - 2)^2 + 2 ＞ 0$，
又因为$a^2 ＞ 0$（因为$a \neq 0$），
所以$am + an ＞ 0$。