13. 已知抛物线$ y= -2(x+m)^{2}-3 $,当$ x\geqslant 1 $时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是.

【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数的开口方向和对称轴对函数单调性的影响。
对于抛物线$y = ax^{2} + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
对于给定的抛物线$y = -2(x + m)^{2} - 3$，其对称轴为$x = -m$。
又因为抛物线的开口方向由系数a决定，当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，即在对称轴左侧函数值递增，在对称轴右侧函数值递减。
由题意知，当$x \geqslant 1$时，$y$随$x$的增大而减小，所以对称轴$x = -m$必须在$x = 1$的左侧或者与其重合，即$-m \leqslant 1$。
解这个不等式得到$m \geqslant -1$。
【答案】：
$m \geqslant -1$。

14. 廊桥是我国古老的文化遗产,如图所示为某座桥拱为抛物线形的廊桥. 已知水面AB宽40米,桥拱最高点C到水面AB的距离为10米,为保护廊桥的安全,管理部门在桥拱上距水面AB高8米的点E,F处安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF等于米.

【解析】：
本题可先建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，再根据已知条件求出$E$、$F$两点的横坐标，进而求出两盏灯的水平距离$EF$。
以$AB$所在直线为$x$轴，$AB$的垂直平分线为$y$轴建立平面直角坐标系。
已知水面$AB$宽$40$米，桥拱最高点$C$到水面$AB$的距离为$10$米，则$A$点坐标为$(-20,0)$，$B$点坐标为$(20,0)$，$C$点坐标为$(0,10)$。
设抛物线的方程为$y = ax^2 + 10$（因为抛物线顶点为$(0,10)$，所以设此形式），把$A(-20,0)$代入方程可得：
$0=a×(-20)^2 + 10$
$400a + 10 = 0$
$400a=-10$
解得$a = -\frac{1}{40}$。
所以抛物线的方程为$y = -\frac{1}{40}x^2 + 10$。
已知在桥拱上距水面$AB$高$8$米的点$E$，$F$处安装两盏警示灯，即$y = 8$，代入抛物线方程可得：
$8 = -\frac{1}{40}x^2 + 10$
$-\frac{1}{40}x^2 = 8 - 10$
$-\frac{1}{40}x^2 = -2$
$x^2 = 80$
解得$x = \pm 4\sqrt{5}$。
则$E$点横坐标为$-4\sqrt{5}$，$F$点横坐标为$4\sqrt{5}$，那么两盏灯的水平距离$EF = 4\sqrt{5} - (-4\sqrt{5}) = 8\sqrt{5}$（米）。
【答案】：$8\sqrt{5}$

15. 将抛物线$ y= 2(x+3)^{2}-1 $绕原点旋转 180° ,所得图象对应的函数表达式为.

【解析】：
本题主要考察二次函数图像的性质，特别是抛物线绕原点旋转$180^\circ$后的函数表达式变化。
首先，原抛物线方程为$y = 2(x + 3)^{2} - 1$，其顶点为$(-3, -1)$。
当抛物线绕原点旋转$180^\circ$后，其顶点也会绕原点旋转$180^\circ$，即新的顶点坐标为$(3, 1)$。
同时，由于旋转了$180^\circ$，抛物线的开口方向也会发生变化，即系数$a$的符号会改变。原方程中$a=2$，旋转后$a$变为$-2$。
根据顶点式，我们可以写出旋转后的抛物线方程为$y = -2(x - 3)^{2} + 1$。
【答案】：
$y = - 2(x - 3)^{2} + 1$

16. 已知二次函数$ y= -x^{2}+2mx+1 $,当$ -2\leqslant x\leqslant 1 $时,y的最大值为4,则m的值为.

解：二次函数$y=-x^{2}+2mx+1$，对称轴为$x=-\frac{2m}{2×(-1)}=m$，开口向下。
情况1：当$m \leq -2$时，在$-2 \leq x \leq 1$上，$y$随$x$增大而减小，$x=-2$时，$y$最大。
$y_{max}=-(-2)^{2}+2m×(-2)+1=-4 -4m +1=-3 -4m$。
由$-3 -4m=4$，得$m=-\frac{7}{4}$。
因为$-\frac{7}{4} ＞ -2$，与$m \leq -2$矛盾，舍去。
情况2：当$-2 ＜ m ＜ 1$时，$x=m$时，$y$最大。
$y_{max}=-m^{2}+2m× m +1=m^{2}+1$。
由$m^{2}+1=4$，得$m^{2}=3$，$m=\pm\sqrt{3}$。
$m=\sqrt{3}\approx1.732$（不在$-2 ＜ m ＜ 1$内，舍去），$m=-\sqrt{3}\approx-1.732$（在$-2 ＜ m ＜ 1$内，保留）。
情况3：当$m \geq 1$时，在$-2 \leq x \leq 1$上，$y$随$x$增大而增大，$x=1$时，$y$最大。
$y_{max}=-1^{2}+2m×1 +1=-1 +2m +1=2m$。
由$2m=4$，得$m=2$（在$m \geq 1$内，保留）。
综上，$m$的值为$-\sqrt{3}$或$2$。
答案：$-\sqrt{3}$或$2$

17. 已知二次函数$ y= -(x-4)^{2}+4 $.
(1) 写出该图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2) 在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象.
(3) 分析该函数图象经过怎样的变换可得到$ y= -x^{2}+2x-2 $的图象.

【解析】：
(1)本题考查二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$）的性质，其中$a$决定开口方向，$h$决定对称轴，$(h,k)$为顶点坐标。
对于二次函数$y = -(x - 4)^2 + 4$，其中$a=-1$，$h = 4$，$k = 4$。
因为$a=-1\lt0$，所以开口方向向下；对称轴为直线$x = h = 4$；顶点坐标为$(h,k)=(4,4)$。
(2)本题考查二次函数图象的画法，可通过列表、描点、连线来绘制。
先列表：选取一些$x$的值，计算对应的$y$值。
当$x = 2$时，$y = -(2 - 4)^2 + 4 = 0$；
当$x = 3$时，$y = -(3 - 4)^2 + 4 = 3$；
当$x = 4$时，$y = -(4 - 4)^2 + 4 = 4$；
当$x = 5$时，$y = -(5 - 4)^2 + 4 = 3$；
当$x = 6$时，$y = -(6 - 4)^2 + 4 = 0$。
然后描点：在平面直角坐标系中描出$(2,0)$，$(3,3)$，$(4,4)$，$(5,3)$，$(6,0)$这些点。
最后连线：用平滑的曲线连接这些点，得到二次函数$y = -(x - 4)^2 + 4$的图象。
(3)本题考查二次函数图象的平移变换，先将$y = -x^2 + 2x - 2$化为顶点式，再根据顶点坐标的变化确定平移方式。
先将$y = -x^2 + 2x - 2$进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x - 2\\&=-(x^2 - 2x + 1) - 1\\&=-(x - 1)^2 - 1\end{aligned}$
二次函数$y = -(x - 4)^2 + 4$的顶点坐标为$(4,4)$，$y = -(x - 1)^2 - 1$的顶点坐标为$(1,-1)$。
从顶点坐标$(4,4)$到$(1,-1)$，横坐标的变化是$4 - 1 = 3$，即向左平移$3$个单位；纵坐标的变化是$4 - (-1) = 5$，即向下平移$5$个单位。
所以将二次函数$y = -(x - 4)^2 + 4$的图象向左平移$3$个单位，再向下平移$5$个单位可得到$y = -x^2 + 2x - 2$的图象。
【答案】：
(1) 开口方向向下，对称轴为直线$x = 4$，顶点坐标为$(4,4)$。
(2) 图略。
(3) 将二次函数$y = -(x - 4)^2 + 4$的图象向左平移$3$个单位，再向下平移$5$个单位可得到$y = -x^2 + 2x - 2$的图象。

18. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m. 设饲养室的长为$ x(\unit{m}) $,占地面积为$ y(\unit{m}^{2}) $.

(1) 如图甲所示,当饲养室的长x为多少时,其占地面积y最大？
(2) 如图乙所示,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大. 小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.

【解析】：
本题考查二次函数实际应用问题，涉及矩形面积公式以及二次函数最值求解等知识，通过设未知数，根据面积公式列出函数表达式，再根据二次函数性质求最值。
(1)根据矩形面积公式列出$y$关于$x$的函数表达式，再根据二次函数性质求最大值。
已知饲养室一面靠墙，可建围墙总长为$50m$，饲养室的长为$x m$，那么宽为$\frac{50 - x}{2}m$。
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可得$y = x\cdot\frac{50 - x}{2}=-\frac{1}{2}x^{2} + 25x$。
对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，函数图象开口向下，在对称轴$x = -\frac{b}{2a}$处取得最大值。
在$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 25x$中，$a = -\frac{1}{2}\lt0$，$b = 25$，则对称轴为$x = -\frac{25}{2×(-\frac{1}{2})}= 25$。
所以当$x = 25$时，$y$有最大值。
(2)先根据留$2m$宽的门这一条件列出$y$关于$x$的函数表达式，再求出最大值时的$x$值，与(1)中结果比较判断小敏说法是否正确。
因为要留$2m$宽的门，此时宽为$\frac{50 - (x - 2)}{2}m$，则$y = x\cdot\frac{50 - (x - 2)}{2}=-\frac{1}{2}x^{2} + 26x$。
对于二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 26x$，其中$a = -\frac{1}{2}\lt0$，$b = 26$，对称轴为$x = -\frac{26}{2×(-\frac{1}{2})}= 26$。
所以当$x = 26$时，$y$有最大值。
而(1)中$x = 25$，小敏说饲养室的长比(1)中的长多$2m$，即$x = 25 + 2 = 27$，但实际使占地面积最大时$x = 26$，所以小敏的说法不正确。
【答案】：
(1) $y = -\frac{1}{2}x^{2} + 25x$，当$x = 25$时，$y$最大。
(2) 小敏的说法不正确。$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 26x$，当$x = 26$时，$y$最大。