登录
8. 如图,$\odot A$,$\odot B$,$\odot C$,$\odot D$,$\odot E半径都是1$,顺次连结五个圆心得到五边形$ABCDE$,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是
]
$\frac{3\pi}{2}$（或填$1.5\pi$）
.]
答案
$\frac{3\pi}{2}$（或填$1.5\pi$）
解析
五边形$ABCDE$的内角和为$(5-2)×180°=540°$。
五个扇形的半径均为$1$，根据扇形面积公式$S = \frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），五个扇形面积之和为$\frac{540\pi×1^{2}}{360}=\frac{3\pi}{2}$。
五个扇形的半径均为$1$，根据扇形面积公式$S = \frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），五个扇形面积之和为$\frac{540\pi×1^{2}}{360}=\frac{3\pi}{2}$。
▲9. 如图,已知矩形$ABCD$中,$BC = 2AB$,以点$B$为圆心,$BC为半径的弧交AD于点E$,交$BA的延长线于点F$.设$AB = 1$,则阴影部分的面积为
$\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
$\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
∵矩形$ABCD$中，$AB=1$，$BC=2AB$，
∴$BC=2$，$AD=BC=2$，$\angle BAD=90°$。
以$B$为圆心，$BC$为半径，半径$R=2$，弧交$BA$延长线于$F$，交$AD$于$E$，
∴$BF=BE=2$，$FA=BF - AB=2 - 1=1$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AE=\sqrt{BE^2 - AB^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
$\tan\angle ABE=\frac{AE}{AB}=\sqrt{3}$，故$\angle ABE=60°$，即扇形$BFE$的圆心角$n=60°$。
扇形$BFE$面积：$S_{扇形}=\frac{60\pi×2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}$。
$\triangle ABE$面积：$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}× AB× AE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
阴影部分面积$=S_{扇形BFE}-S_{\triangle ABE}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
10. 如图,将$\triangle ABC绕点C旋转60^{\circ}得到\triangle A'B'C$,已知$AC = 6$,$BC = 4$,则线段$AB$扫过的图形面积为(
A.$\frac{3\pi}{2}$
B.$\frac{8\pi}{3}$
C.$6\pi$
D.$\frac{10\pi}{3}$
D
)A.$\frac{3\pi}{2}$
B.$\frac{8\pi}{3}$
C.$6\pi$
D.$\frac{10\pi}{3}$
答案
D
解析
将$\triangle ABC$绕点$C$旋转$60°$得到$\triangle A'B'C$，
线段$AB$扫过的图形面积为$S_{扇形A CA' }-S_{扇形B CB' }$。
因为$AC=6$，$BC=4$，
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），
可得$S_{扇形A CA' }=\frac{60\pi×6^2}{360}=6\pi$，
$S_{扇形B CB' }=\frac{60\pi×4^2}{360}=\frac{8\pi}{3}$。
所以线段$AB$扫过的图形面积为$6\pi - \frac{8\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}$。
线段$AB$扫过的图形面积为$S_{扇形A CA' }-S_{扇形B CB' }$。
因为$AC=6$，$BC=4$，
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），
可得$S_{扇形A CA' }=\frac{60\pi×6^2}{360}=6\pi$，
$S_{扇形B CB' }=\frac{60\pi×4^2}{360}=\frac{8\pi}{3}$。
所以线段$AB$扫过的图形面积为$6\pi - \frac{8\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}$。
11. 如图,有一圆形的马戏帐篷,其半径为$20\mathrm{m}$,从点$A到点B$有一笔直的栅栏,$AB = 20\sqrt{3}\mathrm{m}$.
(1) 求$\angle AOB$的度数.
★(2) 某学校的学生在阴影区域里看马戏表演,已知每平方米中大约有$2$名学生,则该校大约有多少名学生在看戏？
]
(1) 求$\angle AOB$的度数.
★(2) 某学校的学生在阴影区域里看马戏表演,已知每平方米中大约有$2$名学生,则该校大约有多少名学生在看戏？
]
答案
(1) 由于 $OA = OB = 20\mathrm{m}$，$AB = 20\sqrt{3}\mathrm{m}$，
根据余弦定理，有：
$\ cos\angle AOB = \frac{OA^{2} + OB^{2} - AB^{2}}{2 × OA × OB} = \frac{20^{2} + 20^{2} - (20\sqrt{3})^{2}}{2 × 20 × 20} = -\frac{1}{2}$，
因为 $\angle AOB$ 在 $0°$ 到 $180°$ 之间，
所以 $\angle AOB = 120°$。
(2) 扇形的面积公式为：
$S = \frac{\theta}{360} × \pi r^{2}$，
其中 $\theta$ 是圆心角，$r$ 是半径。
将 $\theta = 120°$ 和 $r = 20\mathrm{m}$ 代入公式，得到：
$S_{扇形} = \frac{120}{360} × \pi × 20^{2} = \frac{400\pi}{3} \mathrm{m^2}$，
三角形 $AOB$ 的面积为：
$S_{\bigtriangleup AOB} = \frac{1}{2} × OA × OB × \ sin\angle AOB = \frac{1}{2} × 20 × 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}\mathrm{m^2}$，
阴影部分的面积为：
$S_{阴影} = S_{扇形} - S_{\bigtriangleup AOB} = (\frac{400\pi}{3} - 100\sqrt{3})\mathrm{m^2}$，
已知每平方米有 2 名学生，
所以学生总数为：
$2 × (\frac{400\pi}{3} - 100\sqrt{3}) \approx 2 × (418.88 - 173.2) = 491.36 \approx 491$（名），
（或写为$492$名，四舍五入不同）
答：该校大约有$491$（或$492$）名学生在看戏。
根据余弦定理，有：
$\ cos\angle AOB = \frac{OA^{2} + OB^{2} - AB^{2}}{2 × OA × OB} = \frac{20^{2} + 20^{2} - (20\sqrt{3})^{2}}{2 × 20 × 20} = -\frac{1}{2}$，
因为 $\angle AOB$ 在 $0°$ 到 $180°$ 之间，
所以 $\angle AOB = 120°$。
(2) 扇形的面积公式为：
$S = \frac{\theta}{360} × \pi r^{2}$，
其中 $\theta$ 是圆心角，$r$ 是半径。
将 $\theta = 120°$ 和 $r = 20\mathrm{m}$ 代入公式，得到：
$S_{扇形} = \frac{120}{360} × \pi × 20^{2} = \frac{400\pi}{3} \mathrm{m^2}$，
三角形 $AOB$ 的面积为：
$S_{\bigtriangleup AOB} = \frac{1}{2} × OA × OB × \ sin\angle AOB = \frac{1}{2} × 20 × 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}\mathrm{m^2}$，
阴影部分的面积为：
$S_{阴影} = S_{扇形} - S_{\bigtriangleup AOB} = (\frac{400\pi}{3} - 100\sqrt{3})\mathrm{m^2}$，
已知每平方米有 2 名学生，
所以学生总数为：
$2 × (\frac{400\pi}{3} - 100\sqrt{3}) \approx 2 × (418.88 - 173.2) = 491.36 \approx 491$（名），
（或写为$492$名，四舍五入不同）
答：该校大约有$491$（或$492$）名学生在看戏。
