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11. 宏达汽车租赁公司共有出租车 120 辆,每辆汽车的日租金为 160 元,出租业务供不应求。为适应市场需求,经过有关部门批准,公司准备适当提高日租金。经市场调查发现,一辆汽车的日租金每增加 10 元,每天出租的汽车会相应地减少 6 辆。若不考虑其他因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个 10 元时,才能使公司的日租金总收入为 19380 元？
答案
11.1个或3个10元.
解析
设公司将每辆汽车的日租金提高$x$个10元。
日租金提高后为$160 + 10x$元，每天出租的汽车数量为$120 - 6x$辆。
根据日租金总收入为19380元，可列方程：$(160 + 10x)(120 - 6x) = 19380$
展开并化简：$19200 - 960x + 1200x - 60x^2 = 19380$
$-60x^2 + 240x - 180 = 0$
两边同时除以$-60$：$x^2 - 4x + 3 = 0$
因式分解：$(x - 1)(x - 3) = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$
公司将每辆汽车的日租金提高1个或3个10元时，日租金总收入为19380元。
日租金提高后为$160 + 10x$元，每天出租的汽车数量为$120 - 6x$辆。
根据日租金总收入为19380元，可列方程：$(160 + 10x)(120 - 6x) = 19380$
展开并化简：$19200 - 960x + 1200x - 60x^2 = 19380$
$-60x^2 + 240x - 180 = 0$
两边同时除以$-60$：$x^2 - 4x + 3 = 0$
因式分解：$(x - 1)(x - 3) = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$
公司将每辆汽车的日租金提高1个或3个10元时，日租金总收入为19380元。
12. 一般地,如果一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$ 的两个根是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$,则有 $x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}$,$x_{1}\cdot x_{2}= \frac{c}{a}$。它的逆命题也成立。
请根据上述定理回答下列问题：
(1)若方程 $x^{2}+mx + n = 0$ 的两个解中,有一个解为 0,另一个解不为 0,那么 $m$,$n$ 应满足 $m$
(2)方程 $x^{2}+4x + 4 = 0$ 的根为 $x_{1}= $
方程 $4x^{2}-3x - 1 = 0$ 的根为 $x_{1}= $
方程 $2x^{2}+2x - 1 = 0$ 的根为 $x_{1}= $
方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$ 的根为 $x_{1}= $
你发现了什么？和同伴交流你的想法。
请根据上述定理回答下列问题：
(1)若方程 $x^{2}+mx + n = 0$ 的两个解中,有一个解为 0,另一个解不为 0,那么 $m$,$n$ 应满足 $m$
≠
0,$n$=
0。(填“=”或“≠”)(2)方程 $x^{2}+4x + 4 = 0$ 的根为 $x_{1}= $
-2
,$x_{2}= $-2
；$x_{1}+x_{2}= $-4
,$x_{1}\cdot x_{2}= $4
。方程 $4x^{2}-3x - 1 = 0$ 的根为 $x_{1}= $
1
,$x_{2}= $$-\frac{1}{4}$
；$x_{1}+x_{2}= $$\frac{3}{4}$
,$x_{1}\cdot x_{2}= $$-\frac{1}{4}$
。方程 $2x^{2}+2x - 1 = 0$ 的根为 $x_{1}= $
$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$
,$x_{2}= $$\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$
；$x_{1}+x_{2}= $-1
,$x_{1}\cdot x_{2}= $$-\frac{1}{2}$
。方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$ 的根为 $x_{1}= $
$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
,$x_{2}= $$\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
；$x_{1}+x_{2}= $$-\frac{b}{a}$
,$x_{1}\cdot x_{2}= $$\frac{c}{a}$
。你发现了什么？和同伴交流你的想法。
发现：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，无论方程的具体系数是多少，其两根之和都等于$-\frac{b}{a}$，两根之积都等于$\frac{c}{a}$。
答案
(1)
$m\neq0$；$n = 0$
(2)
对于方程$x^{2}+4x + 4 = 0$，
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(x + 2)^{2}=0$，
解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=-2$；
$x_{1}+x_{2}=-4$，$x_{1}\cdot x_{2}=4$。
对于方程$4x^{2}-3x - 1 = 0$，
因式分解为$(4x + 1)(x - 1)=0$，
则$4x+1 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{4}$；
$x_{1}+x_{2}=\frac{3}{4}$，$x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{1}{4}$。
对于方程$2x^{2}+2x - 1 = 0$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中$a = 2$，$b = 2$，$c=-1$，
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4×2×(-1)}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$，
解得$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$；
$x_{1}+x_{2}=-1$，$x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{1}{2}$。
对于方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
解得$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_{2}=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$。
发现：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，无论方程的具体系数是多少，其两根之和都等于$-\frac{b}{a}$，两根之积都等于$\frac{c}{a}$。
$m\neq0$；$n = 0$
(2)
对于方程$x^{2}+4x + 4 = 0$，
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(x + 2)^{2}=0$，
解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=-2$；
$x_{1}+x_{2}=-4$，$x_{1}\cdot x_{2}=4$。
对于方程$4x^{2}-3x - 1 = 0$，
因式分解为$(4x + 1)(x - 1)=0$，
则$4x+1 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{4}$；
$x_{1}+x_{2}=\frac{3}{4}$，$x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{1}{4}$。
对于方程$2x^{2}+2x - 1 = 0$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中$a = 2$，$b = 2$，$c=-1$，
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4×2×(-1)}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$，
解得$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$；
$x_{1}+x_{2}=-1$，$x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{1}{2}$。
对于方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
解得$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_{2}=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$。
发现：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，无论方程的具体系数是多少，其两根之和都等于$-\frac{b}{a}$，两根之积都等于$\frac{c}{a}$。
