1. 抛物线$y= x^2 - x - 2$与x轴的交点个数为.

解：令$y = 0$，则$x^2 - x - 2 = 0$。
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9$。
因为$\Delta = 9 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
故抛物线与$x$轴的交点个数为$2$。
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2. 如图所示,抛物线$y= ax^2 + bx + c$交x轴于$(-1,0)$,$(3,0)$两点,以下四个结论中正确的是(填序号). ①图象的对称轴是直线$x= 1$；②当$x＞1$时,y随x的增大而减小；③一元二次方程$ax^2 + bx + c= 0$的两个根是-1和3；④当$-1＜x＜3$时,$y＜0$.

解：①抛物线交x轴于(-1,0)，(3,0)两点，对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，故①正确；
②由图象可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，所以当$x＞1$时，y随x的增大而减小，故②正确；
③抛物线$y=ax^2+bx+c$交x轴于(-1,0)，(3,0)两点，所以一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是-1和3，故③正确；
④由图象可知当$-1＜x＜3$时，抛物线在x轴上方，所以$y＞0$，故④错误。
综上，正确的是①②③。
答案：①②③

3. 如图所示,抛物线$y= ax^2与直线y= bx + c的两个交点坐标分别为A(-2,4)$,$B(1,1)$,则方程$ax^2= bx + c$的解是,不等式$-ax^2 + bx + c＞0$的解集是.

【解析】：
本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系。
已知抛物线$y = ax^2$与直线$y = bx + c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$。
方程$ax^2 = bx + c$的解，就是抛物线$y = ax^2$与直线$y = bx + c$交点的横坐标。
因为交点$A$的横坐标为$-2$，交点$B$的横坐标为$1$，所以方程$ax^2 = bx + c$的解是$x_1 = -2$，$x_2 = 1$。
不等式$-ax^2 + bx + c \gt 0$，变形为$ax^2 \lt bx + c$。
其解集就是抛物线$y = ax^2$在直线$y = bx + c$下方时对应的$x$的取值范围。
从图象上看，当$-2 \lt x \lt 1$时，抛物线$y = ax^2$在直线$y = bx + c$下方，所以不等式$-ax^2 + bx + c \gt 0$的解集是$-2 \lt x \lt 1$。
【答案】：
$x_1 = -2$，$x_2 = 1$；$-2 \lt x \lt 1$

4. 根据下表判断方程$ax^2 + bx + c= 0$($a≠0$,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是.
| x | ... | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | ... |
| $ax^2 + bx + c$ | ... | -0.64 | -0.25 | 0.16 | 0.59 | ... |

【解析】：
本题考查了用列举法求一元二次方程的解的范围。
从表格中可以看出，当$x = 0.5$时，$ax^2 + bx + c$的值为$-0.25$，这是一个负数；
而当$x = 0.6$时，$ax^2 + bx + c$的值为$0.16$，这是一个正数。
由于函数$ax^2 + bx + c$（其中$a ≠ 0$）是连续的，根据连续函数的性质，如果在某两点处函数值异号（即一正一负），则在这两点之间必然存在至少一个使得函数值为零的点，函数零点就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的解。
因此，可以确定方程$ax^2 + bx + c = 0$在$0.5$和$0.6$之间至少有一个解。
所以，方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个解$x$的取值范围是$0.5 ＜ x ＜ 0.6$。
【答案】：
$0.5 ＜ x ＜ 0.6$。

5. 若二次函数$y= ax^2 + bx + c(a≠0)$中的自变量x与函数值y的部分对应值见下表：
| x | ... | $-\frac{3}{2}$ | -1 | $-\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 1 | $\frac{3}{2}$ | ... |
| y | ... | $-\frac{5}{4}$ | -2 | $-\frac{9}{4}$ | -2 | $-\frac{5}{4}$ | 0 | $\frac{7}{4}$ | ... |
 
则关于x的方程$ax^2 + bx + c= 0$的解为.

解：由表格可知，当$x = 1$时，$y = 0$，即$ax^2 + bx + c = 0$的一个解为$x = 1$。
观察表格中$y$值，当$x = -1$和$x = 0$时，$y = -2$，所以二次函数的对称轴为直线$x = \frac{-1 + 0}{2} = -\frac{1}{2}$。
设方程$ax^2 + bx + c = 0$的另一个解为$x = m$，则$\frac{1 + m}{2} = -\frac{1}{2}$，解得$m = -2$。
综上，方程$ax^2 + bx + c = 0$的解为$x_1 = -2$，$x_2 = 1$。
答案：$x_1 = -2$，$x_2 = 1$

6. 抛物线$y= -\frac{1}{2}x^2 - x + 4$与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,如图所示.
(1)求点A,B的坐标.
(2)M是抛物线在x轴上方的点,若$S_{\triangle ABM}= 12$,求点M的坐标.
(3)P为抛物线第二象限上的一个动点,求$\triangle ACP$面积的最大值.

(1)解：令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x^2 - x + 4 = 0$，方程两边同乘$-2$得$x^2 + 2x - 8 = 0$，因式分解得$(x + 4)(x - 2) = 0$，解得$x_1 = -4$，$x_2 = 2$，所以$A(-4,0)$，$B(2,0)$。
(2)解：设$M(m,n)$，$AB = 2 - (-4) = 6$，由$S_{\triangle ABM}=12$得$\frac{1}{2} × 6 × |n| = 12$，$|n| = 4$，因为$M$在$x$轴上方，所以$n = 4$，将$y = 4$代入抛物线得$-\frac{1}{2}m^2 - m + 4 = 4$，即$-\frac{1}{2}m^2 - m = 0$，$m^2 + 2m = 0$，$m(m + 2) = 0$，解得$m_1 = 0$，$m_2 = -2$，所以$M(0,4)$或$M(-2,4)$。
(3)解：设$P(t,-\frac{1}{2}t^2 - t + 4)$，$t ＜ 0$，$C(0,4)$，直线$AC$：设$y = kx + b$，将$A(-4,0)$，$C(0,4)$代入得$\begin{cases}-4k + b = 0 \\ b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\ b = 4\end{cases}$，所以$y = x + 4$，过$P$作$PD \perp x$轴交$AC$于$D(t,t + 4)$，$PD = (-\frac{1}{2}t^2 - t + 4) - (t + 4) = -\frac{1}{2}t^2 - 2t$，$S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2} × 4 × PD = 2(-\frac{1}{2}t^2 - 2t) = -t^2 - 4t = -(t + 2)^2 + 4$，当$t = -2$时，最大值为$4$。