6. 如图,从距离大楼底部$B$点30 m处的$C$点有一条陡坡公路,车辆从$C$点沿坡度$i = 1:2.4$,坡面长13 m的斜坡到达$D$后,观测到大楼的顶端$A$的仰角为$30°$,则大楼的高度为(精确到0.1 m.参考数据:$\sqrt{3} \approx 1.73$,$\sqrt{5} \approx 2.24$)()

A.26.0 m
B.29.2 m
C.31.1 m
D.32.2 m

B

设斜坡CD的垂直高度为h，水平宽度为l，坡度i=1:2.4，设h=k，l=2.4k。由勾股定理得k²+(2.4k)²=13²，解得k=5，故h=5m，l=12m。C点距B点30m，D点水平距B点为30+12=42m。设大楼高AB=H，在Rt△ADE中，tan30°=(H-5)/42，即H-5=42×(√3/3)=14√3≈24.22，H≈24.22+5=29.2m。

7. 下列函数中,具备过原点,且当$x ＞ 0$时,$y$随$x$增大而减小这两个特征的个数是()
①$y = -ax^2(a ＞ 0)$;②$y = (a - 1)x^2(a ＜ 1)$;③$y = -2x + a^2(a \neq 0)$;④$y = \frac{1}{5}x - a$.
A.1
B.2
C.3
D.4

B

①$y = -ax^2(a ＞ 0)$，当$x = 0$时，$y = 0$，过原点，对于二次函数$y = -ax^2(a ＞ 0)$，二次项系数$-a＜0$，函数图象开口向下，当$x＞0$时，$y$随$x$增大而减小，该函数符合条件。
②$y = (a - 1)x^2(a ＜ 1)$，当$x = 0$时，$y = 0$，过原点，因为$a＜1$，所以$a - 1＜0$，二次函数图象开口向下，当$x＞0$时，$y$随$x$增大而减小，该函数符合条件。
③$y = -2x + a^2(a\neq0)$，当$x = 0$时，$y = a^2\neq0$，不过原点，该函数不符合条件。
④$y = \frac{1}{5}x - a$，当$x = 0$时，$y = -a$，因为$a$为实数，$-a$不一定为$0$，不过原点，该函数不符合条件。
符合条件的函数有①②，共$2$个。

8. 如图,在平面直角坐标系中,点$P(1,4)$,$Q(m,n)$在函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上,当$m ＞ 1$时,过点$P$分别作$x$轴、$y$轴的垂线,垂足为点$A$,$B$,过点$Q$分别作$x$轴、$y$轴的垂线,垂足为点$C$,$D$,$QD$交$PA$于点$E$,随着$m$的增大,四边形$ACQE$的面积()

A.减小
B.不变
C.增大
D.先增大,后减小

C

∵点$P(1,4)$在$y=\frac{k}{x}$上，$\therefore k=1×4=4$，函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
∵点$Q(m,n)$在$y=\frac{4}{x}$上，$\therefore n=\frac{4}{m}$。
由题意得：$A(1,0)$，$C(m,0)$，$QD$为$y=n$，$PA$为$x=1$，$\therefore E(1,n)$。
四边形$ACQE$为矩形，$AC=m-1$，$CQ=n$，面积$S=(m-1)n$。
将$n=\frac{4}{m}$代入得：$S=(m-1)\cdot\frac{4}{m}=4-\frac{4}{m}$。
∵$m＞1$，当$m$增大时，$\frac{4}{m}$减小，$\therefore S=4-\frac{4}{m}$增大。

9. 已知抛物线$y = a(x - h)^2 + k$与$x$轴有两个交点$A(-1,0)$,$B(3,0)$,抛物线$y = a(x - h - m)^2 + k$与$x$轴的一个交点是$(4,0)$,则$m$的值是()
A.5
B.-1
C.5或1
D.-5或-1

C

∵抛物线$y = a(x - h)^2 + k$与x轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$，
∴对称轴为$x = \frac{-1 + 3}{2} = 1$，即$h = 1$。
抛物线$y = a(x - h - m)^2 + k = a[(x - (h + m))]^2 + k$，是由原抛物线平移$m$个单位得到，其与x轴交点为原交点平移$m$个单位，即$-1 + m$和$3 + m$。
已知该抛物线与x轴一个交点为$(4,0)$，则：
$-1 + m = 4$或$3 + m = 4$，
解得$m = 5$或$m = 1$。

10. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$($a$,$b$,$c$为常数,且$a \neq 0$),$x$与$y$的部分对应值如下表所示:

给出以下三个结论:
①二次函数$y = ax^2 + bx + c$的最小值为-4;
②若$y ＜ 0$,则$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 2$;
③二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象与$x$轴有两个交点,且它们分别在$y$轴两侧.
其中正确的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3

C

由表格数据可知，二次函数图像关于直线$x=1$对称，顶点坐标为$(1,-4)$，开口向上，故最小值为$-4$，①正确；与$x$轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，当$y＜0$时，$x$的取值范围是$-1＜x＜3$，②错误；与$x$轴的两个交点$(-1,0)$和$(3,0)$分别在$y$轴两侧，③正确。正确结论为①③，共2个。