23. (12 分)某学校准备投资 1 万元围一个矩形的运动场地(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造,且三边的总长为 $ 50 \, m $,墙长 $ 24 \, m $,平行于墙的边的费用为 $ 200 \, 元/m $,垂直于墙的边的费用为 $ 160 \, 元/m $,设平行于墙的边长为 $ x \, m $.
(1)若运动场地面积为 $ 300 \, m^{2} $,求 $ x $ 的值.
(2)当运动场地的面积最大时,是否会超过预算？

(1) 设垂直于墙的边长为 $ y \, m $，由三边总长为 $ 50 \, m $，得 $ x + 2y = 50 $，则 $ y = \frac{50 - x}{2} $。
面积 $ S = x \cdot y = 300 $，即 $ x \cdot \frac{50 - x}{2} = 300 $。
整理得 $ x^2 - 50x + 600 = 0 $，解得 $ x_1 = 20 $，$ x_2 = 30 $。
∵墙长 $ 24 \, m $，$ x \leq 24 $，∴ $ x = 30 $ 舍去，故 $ x = 20 $。
(2) 面积 $ S = x \cdot \frac{50 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 25x $，对称轴 $ x = 25 $。
∵ $ 0 ＜ x \leq 24 $，且函数在 $ (0, 25] $ 单调递增，∴当 $ x = 24 $ 时，面积最大。
此时 $ y = \frac{50 - 24}{2} = 13 \, m $。
总费用：平行边费用 $ 24 × 200 = 4800 \, 元 $，垂直边费用 $ 2 × 13 × 160 = 4160 \, 元 $，总费用 $ 4800 + 4160 = 8960 \, 元 $。
∵ $ 8960 ＜ 10000 $，∴不会超过预算。
(1) $ x = 20 $
(2) 不会超过预算