11. 如图,点 $I$是$\triangle ABC$的内心,$\angle BIC = 126^{\circ}$,则$\angle BAC =$$^{\circ}$.

72

已知点$I$是$\triangle ABC$的内心，根据内心的性质可知$I$到三角形三边的距离相等，且$\angle BIC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC$。
已知$\angle BIC = 126^{\circ}$，则$126^{\circ}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC$，
移项可得$\frac{1}{2}\angle BAC=126^{\circ}- 90^{\circ}=36^{\circ}$，
所以$\angle BAC = 72^{\circ}$。

12. 如图,有一张圆心角为 $108^{\circ}$,半径为 $40$cm 的扇形纸片,小红剪去圆心角为$\theta$的部分扇形纸片后,将剩下的纸片制作成一个底面半径为 $10$cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),则剪去的扇形纸片的圆心角$\theta$的值为.

18°

圆锥底面周长为$2\pi×10 = 20\pi$cm。剩下扇形的弧长等于圆锥底面周长，剩下扇形圆心角为$108°-\theta$，半径为40cm，其弧长公式为$\frac{(108°-\theta)\pi×40}{180}$。由题意得$\frac{(108°-\theta)\pi×40}{180}=20\pi$，两边同除以$\pi$得$\frac{(108-\theta)×40}{180}=20$，化简得$\frac{(108-\theta)×2}{9}=20$，解得$108-\theta=90$，$\theta=18°$。

13. 如图,在矩形 $ABCD$中,$AB = 1$,$AD = \sqrt{2}$.以 $A$为圆心,$AD$的长为半径作弧交 $BC$边于点 $E$,则图中$\overset{\frown}{DE}$的弧长是.

$\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$

由题意，在矩形$ABCD$中，$AB=1$，$AD=\sqrt{2}$，
所以$BC = AD=\sqrt{2}$，$∠B=∠BAD=90^{\circ}$。
因为以$A$为圆心，$AD$的长为半径作弧交$BC$边于点$E$，
所以$AE = AD=\sqrt{2}$。
在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理可得：
$BE=\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}} = 1$，
所以$AB = BE$，
则$\triangle ABE$是等腰直角三角形，$\angle AEB = 45^{\circ}$，$\angle BAE = 45^{\circ}$。
所以$\angle DAE = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径），
已知$n = 45$，$r = AD=\sqrt{2}$，
则$\overset{\frown}{DE}$的弧长$l=\frac{45\pi×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$。

14. 如图,四边形 $ABCD$是矩形,$AB = 2$,$AD = \sqrt{2}$,以点 $A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交 $CD$于点 $E$,交 $AD$的延长线于点 $F$,则图中阴影部分的面积是.

π - 2√2

连接AE，由题意知AB=AF=AE=2（半径），矩形ABCD中AB=2，AD=√2，∴D(0,√2)，C(2,√2)，CD在直线y=√2上。
在Rt△ADE中，AD=√2，AE=2，∴DE=√(AE²-AD²)=√(4-2)=√2，故E(√2,√2)，CE=CD-DE=2-√2。
∠BAE：cos∠BAE=AD/AE=√2/2，∴∠BAE=45°，同理∠FAE=45°。
阴影部分面积=（扇形ABE面积-△ABE面积）+（扇形AFE面积-△AFE面积）
扇形ABE面积=扇形AFE面积=45°/360°×π×2²=π/2，
△ABE面积=△AFE面积=1/2×2×√2=√2，
∴阴影面积=2×(π/2 - √2)=π - 2√2。

15. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点 $C$在半圆上.点 $A$,$B$的读数分别为 $86^{\circ}$,$30^{\circ}$,则$\angle ACB$的度数是.

28°

设量角器的圆心为O，连接OA、OB。点A读数为86°，点B读数为30°，则∠AOB=86°-30°=56°。因为点C在半圆上，所以∠ACB是圆周角，且∠ACB=1/2∠AOB=28°。

16. 如图,在平行四边形 $ABCD$中,以对角线 $AC$为直径的$\odot O$分别交 $BC$,$CD$于点 $M$,$N$.若$AB = 13$,$BC = 14$,$CM = 9$,则 $MN$的长度为 .

17. (6 分)如图,在$\odot O$中,弦 $CD$垂直于直径 $AB$,垂足为点 $E$,如果$\angle BAD = 30^{\circ}$,且 $BE = 2$,求弦 $CD$的长.

$4\sqrt{3}$

连接OD。
∵∠BAD=30°，∠BAD是圆周角，其所对弧为$\overset{\frown}{BD}$，
∴圆心角∠BOD=2∠BAD=60°。
∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴OB=BD，∠OBD=60°。
设⊙O半径为r，则BD=OB=r。
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，∠DBE=60°，BE=2，
∵cos∠DBE=$\frac{BE}{BD}$，即cos60°=$\frac{2}{BD}$，
∴BD=$\frac{2}{\cos60°}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，∴r=4。
在Rt△DEB中，DE=BD·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$。
∵AB是直径，CD⊥AB于E，
∴E为CD中点（垂径定理），
∴CD=2DE=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$。