11. 已知⊙O 的半径为 10 cm，AB，CD 是⊙O 的两条弦，AB//CD，AB = 16 cm，CD = 12 cm，则弦 AB 和 CD 之间的距离是cm.

14或2

本题可先根据圆的半径和弦长求出弦心距，再分情况讨论两弦的位置关系，进而求出两弦之间的距离。
步骤一：分别求出弦$AB$和$CD$的弦心距
过$O$作$OM\perp AB$于$M$，交$CD$于$N$，连接$OA$，$OC$。
因为$OM\perp AB$，根据垂径定理可知$M$为$AB$中点，则$AM=\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16 = 8cm$。
在$Rt\triangle OAM$中，$OA = 10cm$，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边）可得：
$OM=\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6cm$。
同理，因为$ON\perp CD$，$N$为$CD$中点，$CN=\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×12 = 6cm$。
在$Rt\triangle OCN$中，$OC = 10cm$，则$ON=\sqrt{OC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8cm$。
步骤二：分情况讨论弦$AB$和$CD$之间的距离
当$AB$与$CD$在圆心$O$的两侧时，$MN=OM + ON = 6 + 8 = 14cm$。
当$AB$与$CD$在圆心$O$的同侧时，$MN=ON - OM = 8 - 6 = 2cm$。

12. 一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是 3 个红珠子，4 个白珠子和 5 个黑珠子，每次只摸出 1 个珠子，观察后均放回再搅匀，在连续 9 次摸出的都是红珠子的情况下，第 10 次摸出红珠子的概率是.

$\frac{1}{4}$（或 0.25对应的分数形式选项） （根据题目要求，如果选项是分数形式，一般九年级会以分数形式给出选项，这里假设选项中有$\frac{1}{4}$，则答案选对应$\frac{1}{4}$的选项）

布袋中红珠子有3个，白珠子4个，黑珠子5个，总共有$3 + 4 + 5 = 12$个珠子。每次摸珠子都是独立事件，且每次摸完后放回，所以每次摸出红珠子的概率都是$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$，与之前的摸取结果无关。

13. 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.5. 据此若设刚出生的这种动物共有 a 只，则 20 年后存活的有只，现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是.

$0.8a$；$0.625$（或 $\frac{5}{8}$ ）

题目给出活到$20$岁的概率为$0.8$，若刚出生的这种动物共有$a$只，根据“存活数量$=$初始数量$×$存活概率”，那么$20$年后存活的数量是$0.8a$只。
设现年$20$岁的这种动物活到$25$岁的概率是$P$。
以$100$只这种动物为例，活到$20$岁的数量为$100×0.8 = 80$只，活到$25$岁的数量为$100×0.5 = 50$只。
根据条件概率公式$P=\frac{活到25岁的数量（从刚出生算起）}{活到20岁的数量}$，这里从刚出生看活到$25$岁的数量是$50$只，活到$20$岁的数量是$80$只，所以$P = \frac{0.5}{0.8}=\frac{5}{8} = 0.625$。

14. 已知点 M(6,0)，⊙M 的半径为 3，OA 切⊙M 于点 A，点 P 为⊙M 上的动点，当点 P 的坐标为时，△POA 是等腰三角形.

(3,0)，(9,0)，(9/2,3√3/2)

1. 求点A坐标：
点M(6,0)，⊙M半径3，OA切⊙M于A，故MA⊥OA。在Rt△OMA中，OM=6，MA=3，由勾股定理得OA=√(OM²-MA²)=3√3。设A(x,y)，由OA²=x²+y²=27，MA²=(x-6)²+y²=9，联立解得x=9/2，y=-3√3/2，即A(9/2,-3√3/2)。
2. 分情况讨论△POA为等腰三角形：
情况1：OA=OP
OA=3√3，故OP=3√3。⊙O：x²+y²=27与⊙M：(x-6)²+y²=9联立，解得x=9/2，y=±3√3/2。因A(9/2,-3√3/2)，故P1(9/2,3√3/2)。
情况2：OA=AP
OA=3√3，故AP=3√3。设P(x,y)，则(x-9/2)²+(y+3√3/2)²=27，与⊙M方程联立解得y=0或y=3√3/2（后者与P1重合），故P2(9,0)。
情况3：OP=AP
P在OA垂直平分线上，OA中点(9/4,-3√3/4)，斜率kOA=-√3/3，垂直平分线斜率√3，方程y=√3x-3√3，与⊙M方程联立解得x=3或x=9/2（后者与P1重合），故P3(3,0)。

15. 如图，⊙O 的半径为 5，点 P 在⊙O 上，点 A 在⊙O 内，且 AP = 3，过点 A 作 AP 的垂线，交⊙O 于点 B，C. 设 PB = x，PC = y，则 y 与 x 的函数表达式为.

y=30/x

连接BC，AP⊥BC，△PBC面积=1/2·BC·AP=3/2·BC。
又△PBC面积=1/2·PB·PC·sin∠BPC=1/2xy sin∠BPC，故3BC=xy sin∠BPC。
∵∠BPC为圆周角，BC=2R sin∠BPC=10 sin∠BPC（R=5），∴sin∠BPC=BC/10。
代入3BC=xy·(BC/10)，化简得xy=30，即y=30/x。

16. 如图，△ABC 为等边三角形，AB = 2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB = ∠ACP，则线段 PB 长度的最小值为.

2√3/3

∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=2，∠BAC=∠ACB=60°。设∠PAB=∠ACP=α，则∠PAC=60°-α。在△APC中，∠APC=180°-(∠PAC+∠ACP)=180°-(60°-α+α)=120°，即∠APC=120°为定值。
∴点P在以AC为弦，圆周角为120°的圆弧上（△ABC内部）。设圆心为O，由圆周角定理，圆心角∠AOC=240°。
在△AOC中，AC=2，由余弦定理得AC²=OA²+OC²-2·OA·OC·cos240°，解得半径OA=OC=2√3/3。
圆心O在AC中垂线x=1上，坐标为(1,-√3/3)。点B坐标为(1,√3)，则OB=√[(1-1)²+(√3+√3/3)²]=4√3/3。
PB最小值为OB-半径=4√3/3-2√3/3=2√3/3。

17. （6 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，点 O 在 AB 上，OB = 2，以 OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，交 BC 于点 E，求 CE 的长.

设⊙O 与 AC 相切于点 D 时，连接 OD，
∵AC 是⊙O 的切线，
∴OD⊥AC，
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，OB = 2，
则 AO=AB - OB = 3，
∵∠A = ∠A，∠ADO = ∠C = 90°，
∴Rt△ADO∽Rt△ACB，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{AO}{AB}$，
设 BC=x，OD = OB = 2，
则$\frac{2}{x}=\frac{3}{5}$，
解得$x=\frac{10}{3}$，即$BC=\frac{10}{3}$，
过 O 作 OG⊥BE 于点 G，
因为 BE 是弦，OG⊥BE，O 是圆心，
根据垂径定理可知 BG=GE，
在△BOG 中，∠OGB = 90°，OB = 2，
$\cos B=\frac{BG}{OB}$，
在 Rt△ABC 中，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{\frac{10}{3}}{5}=\frac{2}{3}$，
所以$\frac{BG}{2}=\frac{2}{3}$，
解得$BG=\frac{4}{3}$，
则$BE = 2BG=\frac{8}{3}$，
所以$CE=BC - BE=\frac{10}{3}-\frac{8}{3}=\frac{2}{3}$。
综上，CE 的长为$\frac{2}{3}$。