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15. (1)已知$2^{x+3}\cdot3^{x+3}= 36^{x+1}$,求 x 的值.
(2)已知$9^{x+1}-3^{2x}= 72$,求正整数 x 的值.
(2)已知$9^{x+1}-3^{2x}= 72$,求正整数 x 的值.
答案
(1)$x=1$；(2)$x=1$。
解析
(1)因为$2^{x+3}\cdot3^{x+3}=(2×3)^{x+3}=6^{x+3}$，$36^{x+1}=(6^2)^{x+1}=6^{2(x+1)}$，所以$6^{x+3}=6^{2x+2}$，则$x+3=2x+2$，解得$x=1$。
(2)因为$9^{x+1}=(3^2)^{x+1}=3^{2x+2}$，所以$3^{2x+2}-3^{2x}=3^{2x}(3^2 - 1)=3^{2x}×8$，即$8×3^{2x}=72$，$3^{2x}=9=3^2$，则$2x=2$，解得$x=1$。
阅读下面的解题过程:试比较$2^{100}与3^{75}$的大小.
解:$\because2^{100}= (2^{4})^{25}= 16^{25},3^{75}= (3^{3})^{25}= 27^{25}$,而$16＜27,\therefore2^{100}＜3^{75}$.
请根据上述解题过程,比较$2^{55},3^{44},4^{33}$的大小.
解:$\because2^{100}= (2^{4})^{25}= 16^{25},3^{75}= (3^{3})^{25}= 27^{25}$,而$16＜27,\therefore2^{100}＜3^{75}$.
请根据上述解题过程,比较$2^{55},3^{44},4^{33}$的大小.
答案
$\because 2^{55}=(2^{5})^{11}=32^{11}$，$3^{44}=(3^{4})^{11}=81^{11}$，$4^{33}=(4^{3})^{11}=64^{11}$，而$32\lt64\lt81$，$\therefore 2^{55}\lt4^{33}\lt3^{44}$。
