9. 如图,在$\triangle ABC$中,点D,E分别在边AB,AC上,$DE// BC$,$\angle ACD= \angle B$.若$AD= 2BD$,$BC= 6$,则线段CD的长为 ()

A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{6}$
D.5

C

设$BD=x$，则$AD=2x$，$AB=AD+BD=3x$。
∵$DE// BC$，∴$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似），相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，故$DE=\frac{2}{3}BC=4$。
∵$\angle ACD=\angle B$，$\angle A=\angle A$，∴$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$（两角对应相等，两三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AB\cdot AD$。
$AB=3x$，$AD=2x$，则$AC^2=3x\cdot2x=6x^2$，$AC=\sqrt{6}x$。
又$\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}$，即$CD=BC\cdot\frac{AC}{AB}=6\cdot\frac{\sqrt{6}x}{3x}=2\sqrt{6}$。

10. 如图,将等边三角形纸片ABC折叠,使点A落在边BC上的点D处,MN为折痕.若$\frac{BD}{DC}= \frac{1}{2}$,则$\frac{AM}{AN}$的值为 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{5}{7}$

C

设等边△ABC边长为3k，则BD=k，DC=2k，设AM=DM=x，AN=DN=y，故BM=3k-x，CN=3k-y。
∵∠MDN=∠A=60°，∠B=∠C=60°，∠BDM+∠CDN=120°，∠BDM+∠BMD=120°，∴∠CDN=∠BMD，同理∠BDM=∠CND，∴△BDM∽△CND。
由相似得BM/CD=BD/CN=DM/DN，即(3k-x)/2k=k/(3k-y)=x/y。
由(3k-x)/2k=x/y得2kx=y(3k-x)，即xy=3ky-2kx①；
由(3k-x)/2k=k/(3k-y)得(3k-x)(3k-y)=2k²②。
将①代入②：3k(x+y)-(3ky-2kx)=7k²，化简得5kx=7k²，x=7k/5。
代入①：(7k/5)y=3ky-2k*(7k/5)，解得y=7k/4。
∴AM/AN=x/y=(7k/5)/(7k/4)=4/5。

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,$DE= 2$,$BC= 5$,则$S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}$的值是.

4:25

∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE=2，BC=5，∴相似比为2:5，∴S△ADE:S△ABC=2²:5²=4:25

12. 如图,直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,直线a,b与$l_{1},l_{2},l_{3}$分别交于点A,B,C和点D,E,F.若$BC= 2AB$,$AD= 2$,$CF= 6$,则BE的长为.

$\frac{10}{3}$

设直线$a$与$b$交于点$O$。因为$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，所以$\triangle OAD\sim\triangle OBE\sim\triangle OCF$。设$AB = x$，则$BC = 2x$，$AC=3x$。设$OA = m$，则$OB = m + x$，$OC = m + 3x$。
由$\triangle OAD\sim\triangle OCF$，得$\frac{OA}{OC}=\frac{AD}{CF}$，即$\frac{m}{m + 3x}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，解得$m=\frac{3}{2}x$。
由$\triangle OAD\sim\triangle OBE$，得$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BE}$，$OB = m + x=\frac{3}{2}x + x=\frac{5}{2}x$，则$\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{5}{2}x}=\frac{2}{BE}$，解得$BE=\frac{10}{3}$。