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5. 如图,在$\odot O$中,AB 是直径,弦$AC= 5$,$\angle BAC= \angle D$,则 AB的长为(
A.5
B.10
C.$5\sqrt{2}$
D.$10\sqrt{2}$
C
)A.5
B.10
C.$5\sqrt{2}$
D.$10\sqrt{2}$
答案
C
解析
∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∵∠BAC=∠D，∠D=∠B（同弧所对的圆周角相等），∴∠BAC=∠B。∴△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=5。由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(5²+5²)=5√2。
6. 一个圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为(
A.$120°$
B.$180°$
C.$240°$
D.$300°$
A
)A.$120°$
B.$180°$
C.$240°$
D.$300°$
答案
A
解析
设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $R$，圆心角的度数为 $n$。
圆锥的底面积：$ \pi r^2 $。
圆锥的侧面积：$ \pi r R $。
根据题意，侧面积是底面积的 3 倍，即：
$ \pi r R = 3 \pi r^2 $，
化简得：$ R = 3r $。
圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面的周长，即：
$ 2\pi r = \frac{n\pi R}{180} $，
将 $ R = 3r $ 代入上式，得：
$ 2\pi r = \frac{n\pi × 3r}{180} $，
化简得：
$ n = 120 $。
圆锥的底面积：$ \pi r^2 $。
圆锥的侧面积：$ \pi r R $。
根据题意，侧面积是底面积的 3 倍，即：
$ \pi r R = 3 \pi r^2 $，
化简得：$ R = 3r $。
圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面的周长，即：
$ 2\pi r = \frac{n\pi R}{180} $，
将 $ R = 3r $ 代入上式，得：
$ 2\pi r = \frac{n\pi × 3r}{180} $，
化简得：
$ n = 120 $。
7. 如图,P 是$\odot O$内一点.若圆的半径为 5,$OP= 3$,则经过点 P 的弦的长度不可能为(
A.7
B.8
C.9
D.10
A
)A.7
B.8
C.9
D.10
答案
A
解析
设圆的半径为$R$，$OP=d=3$，弦与$OP$垂直时最短，
根据垂径定理和勾股定理，弦长的一半为$\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，
所以最短弦长是$2×4 = 8$。
而圆的最长的弦为直径，长度为$2R = 10$。
所以经过点$P$的弦长度范围是$8\leqslant l\leqslant10$。
所以经过点$P$的弦的长度不可能为$7$。
根据垂径定理和勾股定理，弦长的一半为$\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，
所以最短弦长是$2×4 = 8$。
而圆的最长的弦为直径，长度为$2R = 10$。
所以经过点$P$的弦长度范围是$8\leqslant l\leqslant10$。
所以经过点$P$的弦的长度不可能为$7$。
8. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,切点分别为 D,E,F.若$CF= 7$,$AB= 9$,则$\triangle ABC$的周长为(
A.16
B.23
C.25
D.32
D
)A.16
B.23
C.25
D.32
答案
D
解析
设AD=AE=x，BD=BF=y。
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D,E,F，
∴AD=AE，BD=BF，CF=CE=7（切线长定理）。
∵AB=AD+BD=x+y=9，
∴△ABC周长=AB+BC+AC=AB+(BF+CF)+(AE+CE)=9+(y+7)+(x+7)=9+(x+y)+14=9+9+14=32。
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D,E,F，
∴AD=AE，BD=BF，CF=CE=7（切线长定理）。
∵AB=AD+BD=x+y=9，
∴△ABC周长=AB+BC+AC=AB+(BF+CF)+(AE+CE)=9+(y+7)+(x+7)=9+(x+y)+14=9+9+14=32。
9. 如图,BM 与$\odot O$相切于点 B.若$\angle MBA= 140°$,则$\angle ACB$的度数为(
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
A
)A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
A
解析
连接OB，∵BM是切线，∴OB⊥BM，∠OBM=90°。∵∠MBA=140°，∴∠ABO=∠MBA - ∠OBM=140° - 90°=50°。∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABO=50°，∠AOB=180° - 50°×2=80°。∴∠ACB=1/2∠AOB=40°。
10. 如图,过点 A 作$\odot O$的切线 AB,AC,切点分别为 B,C,连接 BC.过$\widehat{BC}$上一点 D 作$\odot O$的切线,分别交 AB,AC 于点 E,F.若$\angle A= 90°$,$\triangle AEF$的周长为 4,则 BC 的长为(
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.4
D.$4\sqrt{2}$
B
)A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.4
D.$4\sqrt{2}$
答案
B
解析
∵AB,AC是⊙O的切线，∴AB=AC（切线长定理）。
∵EF是⊙O的切线，D为切点，∴ED=EB,FD=FC（切线长定理）。
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+(ED+FD)+AF=AE+(EB+FC)+AF=(AE+EB)+(AF+FC)=AB+AC。
∵△AEF周长为4，∴AB+AC=4，又AB=AC，∴AB=AC=2。
∵∠A=90°，AB=AC=2，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=√(AB²+AC²)=√(2²+2²)=2√2。
∵EF是⊙O的切线，D为切点，∴ED=EB,FD=FC（切线长定理）。
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+(ED+FD)+AF=AE+(EB+FC)+AF=(AE+EB)+(AF+FC)=AB+AC。
∵△AEF周长为4，∴AB+AC=4，又AB=AC，∴AB=AC=2。
∵∠A=90°，AB=AC=2，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=√(AB²+AC²)=√(2²+2²)=2√2。
