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1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是(
A.$a^{2}+2a - 1$
B.$x^{2}-xy + y^{2}$
C.$a^{2}-2a+\frac{1}{4}$
D.$a^{2}-ab+\frac{1}{4}b^{2}$
D
)A.$a^{2}+2a - 1$
B.$x^{2}-xy + y^{2}$
C.$a^{2}-2a+\frac{1}{4}$
D.$a^{2}-ab+\frac{1}{4}b^{2}$
答案
D
解析
完全平方公式为$(m\pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$。
选项A：$a^2 + 2a - 1$，第三项为$-1$，不符合完全平方公式常数项为正的要求，不能用完全平方公式分解因式。
选项B：$x^2 - xy + y^2$，中间项应为$-2xy$，此处为$-xy$，不满足完全平方公式，不能用完全平方公式分解因式。
选项C：$a^2 - 2a + \frac{1}{4}$，中间项$-2a = -2× a×1$，则第三项应为$1^2 = 1$，此处为$\frac{1}{4}$，不满足完全平方公式，不能用完全平方公式分解因式。
选项D：$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2 = a^2 - 2× a×\frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2 = (a - \frac{1}{2}b)^2$，能用完全平方公式分解因式。
D
选项A：$a^2 + 2a - 1$，第三项为$-1$，不符合完全平方公式常数项为正的要求，不能用完全平方公式分解因式。
选项B：$x^2 - xy + y^2$，中间项应为$-2xy$，此处为$-xy$，不满足完全平方公式，不能用完全平方公式分解因式。
选项C：$a^2 - 2a + \frac{1}{4}$，中间项$-2a = -2× a×1$，则第三项应为$1^2 = 1$，此处为$\frac{1}{4}$，不满足完全平方公式，不能用完全平方公式分解因式。
选项D：$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2 = a^2 - 2× a×\frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2 = (a - \frac{1}{2}b)^2$，能用完全平方公式分解因式。
D
2. 若多项式$x^{2}-3(m - 2)x + 36$是完全平方式,则$m$的值为(
A.$6或-2$
B.$-2$
C.$6$
D.$-6或2$
A
)A.$6或-2$
B.$-2$
C.$6$
D.$-6或2$
答案
A
解析
因为多项式$x^{2}-3(m - 2)x + 36$是完全平方式，所以$-3(m - 2)x = \pm 2 \cdot x \cdot 6$。
当$-3(m - 2) = 12$时，解得$m = -2$；
当$-3(m - 2) = -12$时，解得$m = 6$。
综上，$m$的值为$6$或$-2$。
A
当$-3(m - 2) = 12$时，解得$m = -2$；
当$-3(m - 2) = -12$时，解得$m = 6$。
综上，$m$的值为$6$或$-2$。
A
3. 因式分解：$16 - 8(x - y)+(x - y)^{2}= $
$(4-x+y)^{2}$
.答案
$(4-x+y)^{2}$
4. 因式分解：$(a - 1)(a - 5)+4$.
答案
解:$(a-1)(a-5)+4$
$=a^{2}-6a+9$
$=(a-3)^{2}.$
$=a^{2}-6a+9$
$=(a-3)^{2}.$
1. 下列各式不是完全平方式的是(
A.$x^{2}-4x + 4$
B.$x^{2}+4xy + 4y^{2}$
C.$4m^{2}-4mn + 4n^{2}$
D.$4m^{2}-4mn + n^{2}$
C
)A.$x^{2}-4x + 4$
B.$x^{2}+4xy + 4y^{2}$
C.$4m^{2}-4mn + 4n^{2}$
D.$4m^{2}-4mn + n^{2}$
答案
C
解析
A.$x^{2}-4x + 4=(x-2)^{2}$，是完全平方式；
B.$x^{2}+4xy + 4y^{2}=(x+2y)^{2}$，是完全平方式；
C.$4m^{2}-4mn + 4n^{2}$，$4m^{2}=(2m)^{2}$，$4n^{2}=(2n)^{2}$，中间项应为$\pm 2×2m×2n=\pm8mn$，原式中间项为$-4mn$，不是完全平方式；
D.$4m^{2}-4mn + n^{2}=(2m-n)^{2}$，是完全平方式。
C
B.$x^{2}+4xy + 4y^{2}=(x+2y)^{2}$，是完全平方式；
C.$4m^{2}-4mn + 4n^{2}$，$4m^{2}=(2m)^{2}$，$4n^{2}=(2n)^{2}$，中间项应为$\pm 2×2m×2n=\pm8mn$，原式中间项为$-4mn$，不是完全平方式；
D.$4m^{2}-4mn + n^{2}=(2m-n)^{2}$，是完全平方式。
C
2. 运用公式$a^{2}+2ab + b^{2}= (a + b)^{2}直接对整式4x^{2}+4x + 1$进行因式分解,公式中的$a$可以是(
A.$2x^{2}$
B.$4x^{2}$
C.$2x$
D.$4x$
C
)A.$2x^{2}$
B.$4x^{2}$
C.$2x$
D.$4x$
答案
C
解析
$4x^{2}+4x + 1=(2x)^{2}+2×2x×1+1^{2}=(2x+1)^{2}$，公式中的$a$是$2x$。
C
C
3. 因式分解：$y^{2}+y+\frac{1}{4}=$
$(y+\frac {1}{2})^{2}$
.答案
$(y+\frac {1}{2})^{2}$
4. 若$x^{2}+ax + 4= (x - 2)^{2}$,则$a= $
-4
.答案
-4
解析
$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$，对比$x^2 + ax + 4$，得$a = -4$。
-4
-4
5. 分解因式：
(1)$x^{2}+4x + 4$；
(2)$(2x - y)^{2}+4(2x - y)+4$.
(1)$x^{2}+4x + 4$；
(2)$(2x - y)^{2}+4(2x - y)+4$.
答案
解:
(1)原式$=(x+2)^{2}.$
(2)原式$=(2x-y+2)^{2}.$
(1)原式$=(x+2)^{2}.$
(2)原式$=(2x-y+2)^{2}.$
6. 在多项式$x^{2}+9$中添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式可以是(
A.$x$
B.$3x$
C.$6x$
D.$9x$
C
)A.$x$
B.$3x$
C.$6x$
D.$9x$
答案
C
解析
要使多项式$x^{2}+9$成为完全平方式，分以下情况：
1. 若$x^{2}+9$为平方项和常数项，设添加的单项式为中间项$\pm 2ab$。其中$a = x$，$b = 3$（因为$9 = 3^{2}$），则中间项为$\pm 2 \cdot x \cdot 3=\pm 6x$。
2. 若添加的单项式为平方项，原多项式中$x^{2}$为中间项或常数项为中间项，经检验无法构成完全平方式。
综上，添加的单项式可以是$6x$或$-6x$，选项中符合的是$6x$。
C
1. 若$x^{2}+9$为平方项和常数项，设添加的单项式为中间项$\pm 2ab$。其中$a = x$，$b = 3$（因为$9 = 3^{2}$），则中间项为$\pm 2 \cdot x \cdot 3=\pm 6x$。
2. 若添加的单项式为平方项，原多项式中$x^{2}$为中间项或常数项为中间项，经检验无法构成完全平方式。
综上，添加的单项式可以是$6x$或$-6x$，选项中符合的是$6x$。
C
