1. 判断下列计算是否正确. (打“√”或“×”)
(1) $\frac{a}{a + 1} + \frac{1}{a + 1} ÷ \frac{a}{a + 1} = \frac{a + 1}{a + 1} ÷ \frac{a}{a + 1} = \frac{a}{a + 1}$. ()
(2) $\frac{b}{a} ÷ (\frac{1}{a} + \frac{b}{a}) = \frac{b}{a} ÷ \frac{1}{a} + \frac{b}{a} ÷ \frac{b}{a} = b + 1$. ()
(3) $\frac{b}{a} \cdot (\frac{1}{a} + \frac{b}{a}) = \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{b}{a} \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a^2} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{b + b^2}{a^2}$. ()
2. 计算: (1) $\frac{x - 1}{x} ÷ (1 - \frac{1}{x}) = $;
(2) $1 + x ÷ (y \cdot \frac{x}{y}) = $.
3. 化简: $\frac{a^2 - 4}{a - 3} ÷ (1 + \frac{1}{a - 3})$.

1.
(1)×
(2)×
(3)√
2.
(1)1
(2)2
3.解：$\frac{a^2-4}{a-3}÷\left(1+\frac{1}{a-3}\right)$
$=\frac{(a+2)(a-2)}{a-3}÷\frac{a-3+1}{a-3}$
$=\frac{(a+2)(a-2)}{a-3}\cdot\frac{a-3}{a-2}$
$=a+2$.

题型 1 化简: $(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) \cdot \frac{x^2 - 4}{x}$. (尝试用多种方法计算)

解：（方法一）原式$=\frac{1}{x-2}\cdot\frac{(x+2)(x-2)}{x}-\frac{1}{x+2}\cdot\frac{(x+2)(x-2)}{x}=\frac{x+2}{x}-\frac{x-2}{x}=\frac{4}{x}$.
（方法二）原式$=\frac{(x+2)-(x-2)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{(x+2)(x-2)}{x}=\frac{4}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{(x+2)(x-2)}{x}=\frac{4}{x}$.

题型 2 已知 $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x^2 - x}{x + 1} - \frac{1}{x}$, 试说明在等式右边式子有意义的条件下,不论 $x$ 为何值,$y$ 的值总是不变.

解：等式右边有意义的条件为$x\neq0$，$\pm1$.将等式右边化简，得$y=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{x+1}{x(x-1)}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0$，所以不论$x$为何值，$y$的值总是不变的.

解：等式右边有意义的条件为$x\neq0$，$\pm1$。
$y=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷\frac{x^2 - x}{x + 1}-\frac{1}{x}$
$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{x+1}{x(x-1)}-\frac{1}{x}$
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}$
$=0$
所以不论$x$为何值，$y$的值总是不变的。