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1. 下列是一些常见几何体的平面展开图,写出这些几何体的名称.
(
(
(
正方体
) (长方体
) (四棱锥
) (三棱柱
)(
圆锥
) (圆柱
) (三棱柱
) (三棱锥
)答案
正方体
长方体
四棱锥
三棱柱
圆锥
圆柱
三棱柱
三棱锥
解析
第一幅图是正方体的展开图，因为其由六个完全相同的正方形组成。
第二幅图是长方体的展开图，因为其由三对相同的长方形组成。
第三幅图是四棱锥的展开图，因为其由一个四边形和四个三角形组成。
第四幅图是三棱柱的展开图，因为其由两个相同的三角形和三个长方形组成。
第五幅图是圆锥的展开图，因为其由一个扇形和一个圆形组成。
第六幅图是圆柱的展开图，因为其由两个圆形和一个长方形组成。
第七幅图是三棱锥的展开图，因为其由四个三角形组成。
第八幅图是正三棱柱的展开图，因为其由两个相同的三角形和三个长方形组成，且三个长方形完全相同。
第二幅图是长方体的展开图，因为其由三对相同的长方形组成。
第三幅图是四棱锥的展开图，因为其由一个四边形和四个三角形组成。
第四幅图是三棱柱的展开图，因为其由两个相同的三角形和三个长方形组成。
第五幅图是圆锥的展开图，因为其由一个扇形和一个圆形组成。
第六幅图是圆柱的展开图，因为其由两个圆形和一个长方形组成。
第七幅图是三棱锥的展开图，因为其由四个三角形组成。
第八幅图是正三棱柱的展开图，因为其由两个相同的三角形和三个长方形组成，且三个长方形完全相同。
2. 如图是一名同学画的正方体平面展开图的一部分,还缺一个正方形,请在图中添上这个正方形.
答案
1. 把如图所示的正方体展开,可以得到下列平面图形中的(
D
)答案
D
解析
观察正方体立体图，可见三个相邻面：圆形（○）、阴影面（■）、三角形（△），三者两两相邻且共顶点。分析各选项：
若选项中两图形所在面为相对面，则错误（立体图中可见面必相邻）。
正确选项需保证○、■、△所在面两两相邻且位置符合共顶点关系。
经判断，选项B中三图形所在面相邻且共顶点，符合折叠后立体图位置。
若选项中两图形所在面为相对面，则错误（立体图中可见面必相邻）。
正确选项需保证○、■、△所在面两两相邻且位置符合共顶点关系。
经判断，选项B中三图形所在面相邻且共顶点，符合折叠后立体图位置。
2. 如图,找出图形与对应表达式的关系,解决下列问题：
(1)尝试：第6个图形对应的表达式是
(2)概括：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+… +n^{3}=$
(3)拓展应用：求$\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+… +2024^{3}}{1+2+3+… +2024}$的值.
(1)尝试：第6个图形对应的表达式是
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}=21^{2}$
；(2)概括：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+… +n^{3}=$
$\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$
；(3)拓展应用：求$\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+… +2024^{3}}{1+2+3+… +2024}$的值.
解:原式$=\frac {\frac {1}{4}×2024^{2}×2025^{2}}{\frac {2024×2025}{2}}=\frac {2024×2025}{2}=2049300$
答案
$ $
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}=21^{2}$
$\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$
$ $解$:$原式$=\frac {\frac {1}{4}×2024^{2}×2025^{2}}{\frac {2024×2025}{2}}=\frac {2024×2025}{2}=2049300$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}=21^{2}$
$\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$
$ $解$:$原式$=\frac {\frac {1}{4}×2024^{2}×2025^{2}}{\frac {2024×2025}{2}}=\frac {2024×2025}{2}=2049300$
解析
(1) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}=21^{2}$
(2) $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$
(3) $\frac{\left(\frac{2024×(2024+1)}{2}\right)^{2}}{\frac{2024×(2024+1)}{2}}=\frac{2024×2025}{2}=2049300$
