1.(长沙)如图,已知一商场自动扶梯的长$l$为10 m,该自动扶梯到达的高度$h$为6 m,自动扶梯与地面所成的角为$\theta$,则$\tan\theta$的值等于 ()


A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

在$Rt\triangle ABC$中，$AB=l=10m$，$BC=h=6m$。
根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$（$m$）。
$\tan\theta=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
正确答案为A.$\frac{3}{4}$。

2.(武汉)在直角坐标系中,点$P(4,y)$在第一象限内,且$OP与x轴正半轴的夹角为60^{\circ}$,则$y$的值是 ()
A.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.8
D.2

B

由题意可知，点$P(4,y)$在第一象限，且$OP$与$x$轴正半轴的夹角为$60^\circ$。
1. 根据直角三角形的性质，点$P$到原点$O$的距离$OP$可表示为：
$ OP = \sqrt{4^2 + y^2} $
2. 由于$OP$与$x$轴的夹角为$60^\circ$，根据三角函数关系：
$ \cos 60^\circ = \frac{4}{OP} $
其中$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，所以：
$ \frac{1}{2} = \frac{4}{OP} \implies OP = 8 $
3. 代入$OP$的表达式：
$ \sqrt{4^2 + y^2} = 8 $
平方两边：
$ 16 + y^2 = 64 \implies y^2 = 48 \implies y = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $

3.(潍坊)如图,小明要测量河内小岛$B到河边公路l$的距离,在$A点测得\angle BAD= 30^{\circ}$,在$C点测得\angle BCD= 60^{\circ}$,又测得$AC= 50\ m$,那么小岛$B到公路l$的距离为 ()

A.25 m
B.$25\sqrt{3}\ m$
C.$\frac{100\sqrt{3}}{3}\ m$
D.$(25+25\sqrt{3})\ m$

1. 首先，设小岛$B$到公路$l$的距离$BE = h$米，在$Rt\triangle BCE$中，$\angle BCE = 60^{\circ}$，则$CE=\frac{h}{\tan60^{\circ}}=\frac{h}{\sqrt{3}}$米。
2. 在$Rt\triangle BAE$中，$\angle BAE = 30^{\circ}$，则$AE=\frac{h}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}h$米。
3. 因为$AC = AE - CE$，已知$AC = 50$米，所以$\sqrt{3}h-\frac{h}{\sqrt{3}} = 50$。
4. 对$\sqrt{3}h-\frac{h}{\sqrt{3}} = 50$进行化简：
通分得到$\frac{3h - h}{\sqrt{3}} = 50$，即$\frac{2h}{\sqrt{3}} = 50$。
两边同时乘以$\sqrt{3}$得$2h = 50\sqrt{3}$。
解得$h=\frac{50\sqrt{3}}{2×\frac{3}{3}}=\frac{50\sqrt{3}×\sqrt{3}}{2×3}=\frac{150}{6}=25\sqrt{3}$米。
所以小岛$B$到公路$l$的距离为$25\sqrt{3}$米，答案选B。

4.(苏州)如图,在菱形$ABCD$中,$DE\perp AB$,$\cos A= \frac{3}{5}$,$BE= 2$,则$\tan\angle DBE$的值为 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

B

在菱形$ABCD$中，$AB=AD$。
设$AB=AD=5x$。
$\because\cos A=\frac{3}{5}$，且$\cos A=\frac{AE}{AD}$，
$\therefore AE=3x$。
$\because BE=2$，$AB=AE+BE$，
$\therefore 5x=3x+2$，
解得$x=1$。
$\therefore AE=3×1=3$，$AB=5×1=5$。
在$Rt\triangle ADE$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\tan\angle DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{4}{2}=2$。

5.(重庆)如图,两个高度相等且底面直径之比为$1:2$的圆柱形水杯,甲杯装满液体,乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯,则乙杯的液面与图中点$P$的距离是 ()

A.$4\sqrt{3}\ cm$
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm

C

设甲、乙两圆柱形水杯的底面半径分别为$r$、$2r$，高度均为$h$。
甲杯体积$V_甲=\pi r^2h$，倒入乙杯后，设乙杯液面高度为$H$，则$V_甲=\pi (2r)^2H$，即$\pi r^2h=4\pi r^2H$，解得$H=\frac{h}{4}$。
由题意知杯子高度$h=16\,cm$，故$H=\frac{16}{4}=4\,cm$（液面距杯底$4\,cm$）。
设乙杯底面圆心为$O$，点$P$满足$OP=8\sqrt{3}\,cm$，$OP$与竖直方向夹角$30^\circ$。则$OP$在竖直方向投影为$OP\cdot\cos30^\circ=8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=12\,cm$，即点$P$距杯底$12\,cm$。
液面与点$P$的距离为$12 - 4=8\,cm$。