5. 如图,点O是AC的中点,将周长为4 cm的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO的长度得到菱形OB'C'D',则四边形OECF的周长是cm.

∵菱形ABCD周长为4cm，菱形四边相等，∴AB=BC=CD=DA=1cm。
∵O是AC中点，且菱形对角线互相平分，∴O为菱形ABCD对角线交点，AC⊥BD，AO=OC。
菱形ABCD沿AC方向平移AO长度得到菱形OB'C'D'，由平移性质知：AB//OB'，AD//OD'。
在△ABC中，O为AC中点，OB'//AB，∴E为BC中点（三角形中位线逆定理），则OE=1/2AB=1/2cm，EC=1/2BC=1/2cm。
在△ADC中，O为AC中点，OD'//AD，∴F为CD中点（三角形中位线逆定理），则OF=1/2AD=1/2cm，CF=1/2CD=1/2cm。
四边形OECF周长=OE+EC+CF+FO=1/2+1/2+1/2+1/2=2cm。
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6. 在△ABC中,∠C= 90°,CD是斜边AB上的高,若AD= 2 cm,BD= 6 cm,则CD=,AC=,BC=.

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC。
1. 求CD：
∵△ACD∽△CBD，∴AD/CD=CD/BD，即CD²=AD·BD=2×6=12，∴CD=√12=2√3 cm。
2. 求AC：
∵△ACD∽△ABC，∴AC/AB=AD/AC，即AC²=AD·AB。AB=AD+BD=8 cm，∴AC²=2×8=16，∴AC=4 cm。
3. 求BC：
∵△BCD∽△BAC，∴BC/AB=BD/BC，即BC²=BD·AB=6×8=48，∴BC=√48=4√3 cm。
CD=2√3 cm，AC=4 cm，BC=4√3 cm。

7. 如图,△ABC∽△BDC,E,F分别为AC,BC的中点,已知AC= 6,BC= 4,BE= 3,求DF的长.

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∵△ABC∽△BDC，
∴相似比$k = \frac{AC}{BC}$。
∵AC=6，BC=4，
∴$k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$。
∵E为AC中点，∴BE是△ABC的中线；
∵F为BC中点，∴DF是△BDC的中线。
∵相似三角形对应中线的比等于相似比，
∴$\frac{BE}{DF} = k = \frac{3}{2}$。
∵BE=3，
∴$\frac{3}{DF} = \frac{3}{2}$，解得DF=2。

8. 在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆周上,其他两边分别为6和8. 现要修建一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中DE在AB上,下图所示的设计方案中,AC= 8,BC= 6,AC⊥BC.
(1)求△ABC中AB边上的高h;
(2)设DN= x,用含x的式子表示水池DEFN的面积.

(1)∵AC⊥BC，AC=8，BC=6，∴AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10。
∵S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×AB×h，
∴1/2×8×6=1/2×10×h，解得h=24/5。
(2)设矩形DEFN的边DN=x，NF=DE=y。
∵NF//AB，∴△CNF∽△CAB，相似比为(CM-NF的高)/CM=(h-x)/h。
∵△CNF∽△CAB，∴NF/AB=(h-x)/h，即y/10=(24/5 -x)/(24/5)，
解得y=10×(24/5 -x)×5/24=(120-25x)/12。
∴矩形面积S=DE×DN=y×x=(120-25x)/12×x=-25/12 x²+10x。
(1)h=24/5；(2)S=-25/12 x²+10x。