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1. 观察一组数 3,5,7,…,则第 n 个数可以表示为(
A.$ 2(n - 1) $
B.$ 2n - 1 $
C.$ 2(n + 1) $
D.$ 2n + 1 $
D
)。A.$ 2(n - 1) $
B.$ 2n - 1 $
C.$ 2(n + 1) $
D.$ 2n + 1 $
答案
D
解析
观察这组数：3，5，7，…，可知每个数都比前一个数大2，是公差为2的等差数列。
首项为3，根据等差数列通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差），可得第$n$个数为：
$3 + (n - 1)×2$
$=3 + 2n - 2$
$=2n + 1$
D
首项为3，根据等差数列通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差），可得第$n$个数为：
$3 + (n - 1)×2$
$=3 + 2n - 2$
$=2n + 1$
D
2. 一个由小菱形“◇”组成的装饰链,断去了一部分,剩下的部分如图所示,则断去部分的小菱形“◇”的个数可能是(
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
观察图形，左边有3个基本图形，每个基本图形由4个小菱形组成，共$3×4 = 12$个；右边有2个基本图形，共$2×4 = 8$个。设完整装饰链有$n$个基本图形，断去部分有$k$个小菱形。则$k = 4n - 12 - 8 = 4n - 20$（$n＞3$且为整数）。当$n=6$时，$k=4×6 - 20=4$；当$n=7$时，$k=4×7 - 20=8$。结合选项，可能为4。
B
B
3. 观察下列图形,则第 n 个图形中三角形的个数是(
A.$ 2n + 2 $
B.$ 4n + 4 $
C.$ 4n - 4 $
D.$ 4n $
D
)。A.$ 2n + 2 $
B.$ 4n + 4 $
C.$ 4n - 4 $
D.$ 4n $
答案
D
解析
第1个图形三角形个数：4
第2个图形三角形个数：8
第3个图形三角形个数：12
规律：第n个图形中三角形的个数是4n
D
第2个图形三角形个数：8
第3个图形三角形个数：12
规律：第n个图形中三角形的个数是4n
D
4. 用计算机设计一个计算程序,输入和输出的数据如下表：
|输入|…|1|2|3|4|5|…|
|输出|…|$ \dfrac{1}{2} $| $ \dfrac{2}{5} $| $ \dfrac{3}{10} $| $ \dfrac{4}{17} $| $ \dfrac{5}{26} $|…|
那么当输入的数据是 8 时,输出的数据是(
A.$ \dfrac{8}{61} $
B.$ \dfrac{8}{63} $
C.$ \dfrac{1}{8} $
D.$ \dfrac{8}{65} $
|输入|…|1|2|3|4|5|…|
|输出|…|$ \dfrac{1}{2} $| $ \dfrac{2}{5} $| $ \dfrac{3}{10} $| $ \dfrac{4}{17} $| $ \dfrac{5}{26} $|…|
那么当输入的数据是 8 时,输出的数据是(
D
)。A.$ \dfrac{8}{61} $
B.$ \dfrac{8}{63} $
C.$ \dfrac{1}{8} $
D.$ \dfrac{8}{65} $
答案
D
解析
观察输入与输出数据的关系：
输入为1时，输出为$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1^{2}+1}$；
输入为2时，输出为$\dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{2^{2}+1}$；
输入为3时，输出为$\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{3^{2}+1}$；
输入为4时，输出为$\dfrac{4}{17}=\dfrac{4}{4^{2}+1}$；
输入为5时，输出为$\dfrac{5}{26}=\dfrac{5}{5^{2}+1}$。
归纳规律：输入数据为$n$时，输出数据为$\dfrac{n}{n^{2}+1}$。
当输入数据是8时，输出数据为$\dfrac{8}{8^{2}+1}=\dfrac{8}{65}$。
D
输入为1时，输出为$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1^{2}+1}$；
输入为2时，输出为$\dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{2^{2}+1}$；
输入为3时，输出为$\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{3^{2}+1}$；
输入为4时，输出为$\dfrac{4}{17}=\dfrac{4}{4^{2}+1}$；
输入为5时，输出为$\dfrac{5}{26}=\dfrac{5}{5^{2}+1}$。
归纳规律：输入数据为$n$时，输出数据为$\dfrac{n}{n^{2}+1}$。
当输入数据是8时，输出数据为$\dfrac{8}{8^{2}+1}=\dfrac{8}{65}$。
D
5. 图①是一个三角形,分别连接这个三角形的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③。按上面的方法继续下去,第 n 个图形中有
$(4n-3)$
个三角形。(用含字母 n 的代数式表示)答案
$(4n-3)$
6. 观察下列一组数：$ \dfrac{2}{3} $,$ \dfrac{4}{5} $,$ \dfrac{6}{7} $,$ \dfrac{8}{9} $,$ \dfrac{10}{11} $,…。它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第 n 个数是
$\frac{2n}{2n+1}$
。答案
$\frac{2n}{2n+1}$
7. 如图,用灰、白两色正方形瓷砖铺设地面,第 n 个图案中白色瓷砖块数为
3n+2
。答案
$3n+2$
解析
第1个图案白色瓷砖块数：5
第2个图案白色瓷砖块数：8
第3个图案白色瓷砖块数：11
相邻图案白色瓷砖块数差为3，首项为5
第n个图案白色瓷砖块数：5 + 3(n-1) = 3n + 2
$3n+2$
第2个图案白色瓷砖块数：8
第3个图案白色瓷砖块数：11
相邻图案白色瓷砖块数差为3，首项为5
第n个图案白色瓷砖块数：5 + 3(n-1) = 3n + 2
$3n+2$
8. 如图所示的是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现：图 $ A_2 $ 比图 $ A_1 $ 多出 2 个“树枝”,图 $ A_3 $ 比图 $ A_2 $ 多出 4 个“树枝”,图 $ A_4 $ 比图 $ A_3 $ 多出 8 个“树枝”……照此规律,图 $ A_6 $ 比图 $ A_2 $ 多出的“树枝”个数为(
A.32
B.56
C.60
D.64
C
)。A.32
B.56
C.60
D.64
答案
C
解析
观察规律：$A_2$比$A_1$多$2=2^1$个树枝；$A_3$比$A_2$多$4=2^2$个树枝；$A_4$比$A_3$多$8=2^3$个树枝；则$A_5$比$A_4$多$2^4=16$个树枝，$A_6$比$A_5$多$2^5=32$个树枝。
$A_6$比$A_2$多出的树枝个数为：$2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 4 + 8 + 16 + 32 = 60$
C
$A_6$比$A_2$多出的树枝个数为：$2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 4 + 8 + 16 + 32 = 60$
C
9. 已知 $ 3^1 = 3 $,$ 3^2 = 9 $,$ 3^3 = 27 $,$ 3^4 = 81 $,$ 3^5 = 243 $,$ 3^6 = 729 $,…,则 $ 3^{2027} $ 的末位数字是(
A.1
B.3
C.7
D.9
C
)。A.1
B.3
C.7
D.9
答案
C
解析
观察可得，$3^n$的末位数字以$3$、$9$、$7$、$1$为周期循环出现，周期为$4$。
$2027÷4 = 506\cdots\cdots3$，其中余数为$3$。
所以$3^{2027}$的末位数字与$3^3$的末位数字相同，$3^3 = 27$，末位数字是$7$。
C
$2027÷4 = 506\cdots\cdots3$，其中余数为$3$。
所以$3^{2027}$的末位数字与$3^3$的末位数字相同，$3^3 = 27$，末位数字是$7$。
C
