1. 如图,某研究性学习小组为测量学校 $ A $ 与河对岸工厂 $ B $ 之间的距离,在学校附近选一点 $ C $,利用测量仪器测得 $ \angle A = 60^{\circ} $, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AC = 2 \, km $。据此,可求得学校与工厂之间的距离 $ AB $ 等于()

A.$ 2 \, km $
B.$ 3 \, km $
C.$ 2\sqrt{3} \, km $
D.$ 4 \, km $

D

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则∠B=30°。因为在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠B的对边是AC，所以AC=1/2AB。已知AC=2km，故AB=2AC=4km。

2. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ BC ＜ AC $。点 $ D $, $ E $ 分别在边 $ AB $, $ BC $ 上,连接 $ DE $,将 $ \triangle BDE $ 沿 $ DE $ 折叠,点 $ B $ 的对应点为点 $ B' $,若点 $ B' $ 刚好落在边 $ AC $ 上, $ \angle CB'E = 30^{\circ} $, $ CE = 3 $,则 $ BC $ 的长为。

9

在$Rt\triangle CEB'$中，$\angle CB'E = 30^{\circ}$，$CE = 3$。
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$B'E = 2CE = 6$。
由折叠可知$B'E = BE$，所以$BE = 6$。
则$BC=BE + CE=6 + 3=9$。

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $,分别以 $ B $, $ C $ 为圆心,大于 $ \dfrac{1}{2}BC $ 的长为半径画弧,两弧交于点 $ D $,连接 $ BD $, $ CD $, $ AD $, $ AD $ 与 $ BC $ 交于点 $ E $。
(1)求证： $ \triangle ABD \cong \triangle ACD $；
(2)若 $ BD = 2 $, $ \angle BDC = 120^{\circ} $,求 $ DE $ 的长。

(2) $DE=1$

(1) 证明：由作图可知，以B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$长为半径画弧交于点D，$\therefore DB=DC$。在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\DB=DC\\AD=AD\end{array}\right.$，$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACD(SSS)$。
(2) 由作图得$DB=DC=2$，$\triangle BDC$为等腰三角形。$\because \angle BDC=120^\circ$，$\therefore \angle DBC=\angle DCB=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$。
$\because \triangle ABD\cong\triangle ACD$，$\therefore \angle BAD=\angle CAD$，又$AB=AC$，$\therefore AD\perp BC$（等腰三角形三线合一），即$\angle BED=90^\circ$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\angle DBC=30^\circ$，$BD=2$，$\therefore DE=\frac{1}{2}BD=1$（30°角所对直角边等于斜边一半）。

4. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ BC = 3 $, $ AB = 6 $,则 $ \angle B $ 为。

$60^{\circ}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$BC=3$，$AB=6$。因为$BC=\frac{1}{2}AB$，根据含$30^{\circ}$角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^{\circ}$，所以$BC$所对的$\angle A=30^{\circ}$。又因为直角三角形两锐角互余，所以$\angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。

5. 如图,已知 $ \angle AOB = 60^{\circ} $,点 $ P $ 在边 $ OA $ 上, $ OP = 12 $,点 $ M $, $ N $ 在边 $ OB $ 上,且 $ PM = PN $,若 $ MN = 4 $,则 $ OM $ 的长为。

4

过点P作PC⊥OB于点C，∵PM=PN，∴△PMN为等腰三角形，PC为底边上的高，∴MC=NC=MN/2=2。在Rt△OPC中，∠AOB=60°，∠OCP=90°，∴∠OPC=30°，∴OC=OP/2=12/2=6。∴OM=OC - MC=6 - 2=4。

6. 如图, $ \triangle ABC $ 是边长为 $ 6 \, cm $ 的等边三角形,动点 $ P $, $ Q $ 同时从 $ A $, $ B $ 两点出发,分别沿 $ AB $, $ BC $ 方向匀速移动。
(1)若点 $ P $ 的运动速度是 $ 1 \, cm/s $,点 $ Q $ 的运动速度是 $ 2 \, cm/s $,当 $ Q $ 到达点 $ C $ 时, $ P $, $ Q $ 两点都停止运动。设运动时间为 $ t \, s $,当 $ t = 2 $ 时,判断 $ \triangle BPQ $ 的形状,并说明理由。
(2)若它们的速度都是 $ 1 \, cm/s $,当点 $ P $ 到达点 $ B $ 时, $ P $, $ Q $ 两点停止运动。设点 $ P $ 的运动时间为 $ t \, s $,则当 $ t $ 为何值时, $ \triangle PBQ $ 是直角三角形？

(1) 等边三角形。理由：当$t=2$时，$AP=1×2=2\,cm$，则$BP=AB-AP=6-2=4\,cm$；$BQ=2×2=4\,cm$。$\because\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore\angle ABC=60^\circ$。在$\triangle BPQ$中，$BP=BQ=4\,cm$，$\angle PBQ=60^\circ$，$\therefore\triangle BPQ$是等边三角形。
(2) 当$t=2$或$t=4$时，$\triangle PBQ$是直角三角形。
① 若$\angle BPQ=90^\circ$，则$\angle BQP=30^\circ$，$\therefore BP=\frac{1}{2}BQ$。$BP=6-t$，$BQ=t$，$\therefore6-t=\frac{1}{2}t$，解得$t=4$。
② 若$\angle BQP=90^\circ$，则$\angle BPQ=30^\circ$，$\therefore BQ=\frac{1}{2}BP$。$\therefore t=\frac{1}{2}(6-t)$，解得$t=2$。
综上，$t=2$或$t=4$。