[典型例题1]有一个直角三角尺DEF放置 在△ABC上,三角尺DEF的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C,在△ABC中,∠DBA+∠DCA= 45°,则A的度数是()
A.40°
B.44°
C.45°
D.50°
[解析]在Rt△DBC中,∠DBC与
DCB互余,即∠DBC+∠DCB= 90°,故在△ABC中,∠A= 180°-(∠ABC+
∠ACB)= 180°-(45°+90°)= 45°.
[答案]C
洹规律方法应用直角三角形两个锐
角互余的性质计算相关角的大小,要比应
用三角形内角和定理简便.

C

在$Rt\triangle DEF$中，
$\angle EDF = 90^\circ$，
所以$\angle DBC + \angle DCB = 90^\circ$。
在$\triangle ABC$中，
$\angle A = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) $
$ = 180^\circ - (\angle ABD + \angle DBC + \angle ACD + \angle DCB) $
$ = 180^\circ - (45^\circ + 90^\circ) $
$ = 45^\circ$

1.《周礼.考工记》中记载有:……“半矩谓
之宣,一宣有半谓之橘(zhú)……”.意思
是:……“直角的一半的角叫做宣,一宣半
的角叫做橘……”,即1宣= $\frac{1}{2}$矩,1=
1$\frac{1}{2}$宣(其中,1矩= 90°).



问题:图1为中国古代一种强弩图,图2
为这种强弩图的部分组件的示意图,若
A= 1矩,∠B= 1橘,则∠C= ______.

22.5°

1矩=90°，∠A=1矩=90°；1宣=$\frac{1}{2}$矩=45°，1橘=$1\frac{1}{2}$宣=$\frac{3}{2}$×45°=67.5°，∠B=1橘=67.5°；在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-90°-67.5°=22.5°。

[典型例题2]在△ABC中,有下列条件:①∠A:∠B:∠C= 1:2:3;②∠A= ∠B= 2∠C;③∠A+∠B= ∠C;④∠A= $\frac{1}{2}$∠B= $\frac{1}{3}$∠C.其中,能确定△ABC为直角三角形的条件个数是()
A.4
B.3
C.2
D.1

B

①设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形；②设∠C=x，则∠A=∠B=2x，2x+2x+x=180°，解得x=36°，∠A=∠B=72°，不是直角三角形；③∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；④设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形。能确定为直角三角形的条件有①③④，共3个。

2.如图,CD//AB,∠A= 35°,∠DCB= 55°,
则△ABC的形状为()

A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形

C

∵CD//AB，∴∠ABC=∠DCB=55°（两直线平行，内错角相等）。在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=55°，∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-35°-55°=90°，∴△ABC是直角三角形。