例 2 如图 7 所示,$D$ 为 $\triangle ABC$ 中 $AC$ 边上一点,$AD = 1$,$DC = 2$,$AB = 4$,$E$ 是 $AB$ 边上一点,且 $\triangle ABC$ 的面积等于 $\triangle DEC$ 面积的 $2$ 倍,则 $BE$ 的长为()

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{4}{3}$

B

设$S_{\triangle AED}=x$，
∵$AD=1$，$DC=2$，且$\triangle AED$与$\triangle DEC$同高（$E$到$AC$距离），
∴$S_{\triangle AED}:S_{\triangle DEC}=AD:DC=1:2$，则$S_{\triangle DEC}=2x$。
∵$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle DEC}$，
∴$S_{\triangle ABC}=4x$。
又$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AED}+S_{\triangle DEC}+S_{\triangle BCE}$，即$4x=x+2x+S_{\triangle BCE}$，解得$S_{\triangle BCE}=x=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
∵$\triangle ABC$与$\triangle BCE$同高（$C$到$AB$距离），
∴$\frac{S_{\triangle BCE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{BE}{AB}$，即$\frac{1}{4}=\frac{BE}{4}$，
∴$BE=1$。

例 3 如图 8,在 $\triangle ABC$ 中,$O$ 是高 $AD$,$BE$ 的交点。若 $\angle C = 75^{\circ}$,则 $\angle AOB= $。

解：因为 $BE$ 是高,所以 $\angle BEC = 90^{\circ}$。又因为 $\angle C = 75^{\circ}$,所以 $\angle OBC = 90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$。所以 $\angle AOB= \angle ODB+\angle OBD = 90^{\circ}+15^{\circ}=105^{\circ}$。
故答案为 $105^{\circ}$。

105°

因为AD，BE是△ABC的高，所以∠ADC=∠BEC=90°。在△ADC中，∠C=75°，则∠CAD=90°-∠C=15°。在△AOE中，∠AEO=90°，∠OAE=∠CAD=15°，所以∠AOE=90°-15°=75°。因为∠AOB+∠AOE=180°，所以∠AOB=180°-75°=105°。

例 4 如图 9,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 80^{\circ}$,$\angle ACB = 50^{\circ}$,$BP$ 平分 $\angle ABC$,$CP$ 平分 $\angle ACB$,则 $\angle BPC= $。

解：因为 $BP$ 平分 $\angle ABC$,$\angle ABC = 80^{\circ}$,所以 $\angle PBC= \frac{1}{2}\angle ABC = 40^{\circ}$。同理 $\angle PCB= \frac{1}{2}\angle ACB = 25^{\circ}$。所以 $\angle BPC = 180^{\circ}-40^{\circ}-25^{\circ}=115^{\circ}$。
故答案为 $115^{\circ}$。

$115°$

因为 $BP$ 平分 $\angle ABC$，$\angle ABC = 80°$，所以 $\angle PBC = \frac{1}{2} \angle ABC = 40°$。
同理，$CP$ 平分 $\angle ACB$，$\angle ACB = 50°$，所以 $\angle PCB = \frac{1}{2} \angle ACB = 25°$。
根据三角形内角和定理，$\angle BPC = 180° - \angle PBC - \angle PCB = 180° - 40° - 25° = 115°$。
故答案为 $115°$。