5. 【数学文化】《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图①②。图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 $ x,y $ 的系数与相应的常数项,把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是 $\begin{cases}3x + 2y = 19,\\x + 4y = 23\end{cases} $。类似地,图②所示的算筹图我们可以表述为。

$\left\{\begin{array}{l} 2x+y=11,\\ 4x+3y=27\end{array}\right. $

$\begin{cases} 2x + y = 11, \\ 4x + 3y = 27 \end{cases}$

6. 某面粉加工厂要加工一批小麦,2 台大面粉机和 5 台小面粉机同时工作 1 h 共加工小麦 32 t,3 台大面粉机和 2 台小面粉机同时工作 1 h 共加工小麦 26 t。
(1) 1 台大面粉机和 1 台小面粉机每小时各加工小麦多少吨?
(2) 该厂现有 450 t 小麦需要加工,计划使用 8 台大面粉机和 10 台小面粉机同时工作 5 h,能否全部加工完? 请你帮忙计算一下。

解:
(1)设1台大面粉机每小时加工小麦x t,1台小面粉机每小时加工小麦y t。根据题意得$\left\{\begin{array}{l} 2x+5y=32,\\ 3x+2y=26,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=4,\end{array}\right. $所以1台大面粉机每小时加工小麦6 t,1台小面粉机每小时加工小麦4 t。
(2)$(8×6+10×4)×5=(48+40)×5=88×5=440(t)$。因为$450＞440,$所以不能全部加工完。

7. 【数学应用】某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机,已知该厂家生产三种型号的电视机,出厂价分别为:甲种型号每台 1 500 元,乙种型号每台 2 100 元,丙种型号每台 2 500 元。
(1) 若商场同时购进其中两种型号的电视机共 50 台,用去 9 万元,请你研究一下商场的进货方案。
(2) 若商场销售一台甲种型号的电视机可获利 150 元,销售一台乙种型号的电视机可获利 200 元,销售一台丙种型号的电视机可获利 250 元。在(1)中的进货方案中,为使销售利润最多,应选择哪一种?

解:
(1)分三种情况计算:①设购进甲种型号的电视机x台,乙种型号的电视机y台,则$\left\{\begin{array}{l} x+y=50,\\ 1500x+2100y=90000,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=25,\\ y=25。\end{array}\right. $②设购进甲种型号的电视机m台,丙种型号的电视机n台,则$\left\{\begin{array}{l} m+n=50,\\ 1500m+2500n=90000,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=35,\\ n=15。\end{array}\right. $③设购进乙种型号的电视机p台,丙种型号的电视机q台,则$\left\{\begin{array}{l} p+q=50,\\ 2100p+2500q=90000,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} p=87.5,\\ q=-37.5\end{array}\right. $(不合题意,舍去)。故共有两种进货方案。方案一:购进甲种型号的电视机25台,乙种型号的电视机25台;方案二:购进甲种型号的电视机35台,丙种型号的电视机15台。
(2)方案一获利:$150×25+200×25=8750$(元);方案二获利:$150×35+250×15=9000$(元)。因为$8750＜9000,$所以为使销售利润最多,应选择进货方案二。