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例 4 已知$x^{2}+2y^{2}-2xy + 4y + 4 = 0$,求$x^{2}+y^{2}$的值；
(2)已知等腰三角形$ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,其中$a$,$b满足a^{2}+b^{2}+45 = 12a + 6b$,求$\triangle ABC$的周长.
解：(1)$\because x^{2}+2y^{2}-2xy + 4y + 4 = 0$,
$\therefore (x^{2}-2xy + y^{2})+(y^{2}+4y + 4)= 0$,
$\therefore (x - y)^{2}+(y + 2)^{2}= 0$.
$\because (x - y)^{2}\geq0$,$(y + 2)^{2}\geq0$,
$\therefore x - y = 0$,$y + 2 = 0$,$\therefore x = y = - 2$,
$\therefore x^{2}+y^{2}= 8$.
(2)$\because a^{2}+b^{2}+45 = 12a + 6b$,
$\therefore (a^{2}-12a + 36)+(b^{2}-6b + 9)= 0$,
$\therefore (a - 6)^{2}+(b - 3)^{2}= 0$.
$\because (a - 6)^{2}\geq0$,$(b - 3)^{2}\geq0$,
$\therefore a - 6 = 0$,$b - 3 = 0$,$\therefore a = 6$,$b = 3$.
$\because \triangle ABC$为等腰三角形,$\therefore c = 6$,
$\therefore \triangle ABC的周长是15$.
(2)已知等腰三角形$ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,其中$a$,$b满足a^{2}+b^{2}+45 = 12a + 6b$,求$\triangle ABC$的周长.
解：(1)$\because x^{2}+2y^{2}-2xy + 4y + 4 = 0$,
$\therefore (x^{2}-2xy + y^{2})+(y^{2}+4y + 4)= 0$,
$\therefore (x - y)^{2}+(y + 2)^{2}= 0$.
$\because (x - y)^{2}\geq0$,$(y + 2)^{2}\geq0$,
$\therefore x - y = 0$,$y + 2 = 0$,$\therefore x = y = - 2$,
$\therefore x^{2}+y^{2}= 8$.
(2)$\because a^{2}+b^{2}+45 = 12a + 6b$,
$\therefore (a^{2}-12a + 36)+(b^{2}-6b + 9)= 0$,
$\therefore (a - 6)^{2}+(b - 3)^{2}= 0$.
$\because (a - 6)^{2}\geq0$,$(b - 3)^{2}\geq0$,
$\therefore a - 6 = 0$,$b - 3 = 0$,$\therefore a = 6$,$b = 3$.
$\because \triangle ABC$为等腰三角形,$\therefore c = 6$,
$\therefore \triangle ABC的周长是15$.
答案
(1)$8$；(2)$15$。
解析
(1)
$\because x^{2}+2y^{2}-2xy + 4y + 4 = 0$，
$\therefore (x^{2}-2xy + y^{2})+(y^{2}+4y + 4)= 0$，
$\therefore (x - y)^{2}+(y + 2)^{2}= 0$。
$\because (x - y)^{2}\geq0$，$(y + 2)^{2}\geq0$，
$\therefore x - y = 0$，$y + 2 = 0$，
$\therefore x = - 2$，$y = - 2$，
$\therefore x^{2}+y^{2}=8$。
(2)
$\because a^{2}+b^{2}+45 = 12a + 6b$，
$\therefore (a^{2}-12a + 36)+(b^{2}-6b + 9)= 0$，
$\therefore (a - 6)^{2}+(b - 3)^{2}= 0$。
$\because (a - 6)^{2}\geq0$，$(b - 3)^{2}\geq0$，
$\therefore a - 6 = 0$，$b - 3 = 0$，
$\therefore a = 6$，$b = 3$。
$\because \triangle ABC$为等腰三角形，
当$a=c = 6$时，$3+6＞6$，能构成三角形，
当$b=c = 3$时，$3+3=6$，不能构成三角形，舍去，
$\therefore c = 6$，
$\therefore \triangle ABC$的周长是$6 + 6+3=15$。
$\because x^{2}+2y^{2}-2xy + 4y + 4 = 0$，
$\therefore (x^{2}-2xy + y^{2})+(y^{2}+4y + 4)= 0$，
$\therefore (x - y)^{2}+(y + 2)^{2}= 0$。
$\because (x - y)^{2}\geq0$，$(y + 2)^{2}\geq0$，
$\therefore x - y = 0$，$y + 2 = 0$，
$\therefore x = - 2$，$y = - 2$，
$\therefore x^{2}+y^{2}=8$。
(2)
$\because a^{2}+b^{2}+45 = 12a + 6b$，
$\therefore (a^{2}-12a + 36)+(b^{2}-6b + 9)= 0$，
$\therefore (a - 6)^{2}+(b - 3)^{2}= 0$。
$\because (a - 6)^{2}\geq0$，$(b - 3)^{2}\geq0$，
$\therefore a - 6 = 0$，$b - 3 = 0$，
$\therefore a = 6$，$b = 3$。
$\because \triangle ABC$为等腰三角形，
当$a=c = 6$时，$3+6＞6$，能构成三角形，
当$b=c = 3$时，$3+3=6$，不能构成三角形，舍去，
$\therefore c = 6$，
$\therefore \triangle ABC$的周长是$6 + 6+3=15$。
1. 如果$(x + y - 3)^{2}+(x - y + 5)^{2}= 0$,则$x^{2}-y^{2}= $
-15
.答案
-15
解析
因为$(x + y - 3)^{2} + (x - y + 5)^{2} = 0$，且平方数非负，所以$\begin{cases}x + y - 3 = 0 \\ x - y + 5 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = -5\end{cases}$，则$x^{2} - y^{2}=(x + y)(x - y)=3×(-5)=-15$
2. 已知$x^{2}+y^{2}= 10$,$x + y = 2$,则$xy= $
-3
.答案
-3
解析
根据完全平方公式$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，已知$x^{2}+y^{2}=10$，$x + y = 2$，将$x + y = 2$两边同时平方可得$(x + y)^2=2^2 = 4$，即$x^2 + 2xy + y^2=4$，把$x^{2}+y^{2}=10$代入$x^2 + 2xy + y^2=4$中，得到$10 + 2xy = 4$，移项可得$2xy=4 - 10=-6$，两边同时除以$2$，解得$xy = - 3$。
3. (1)$x^{2}+6x + 5= (x + 3)^{2}-$
(2)$9m^{2}-18m + 11= ($
(3)$4m^{2}+8m + 8 + 9n^{2}-12n= (2m + $
4
；(2)$9m^{2}-18m + 11= ($
$3m$
-3
$)^{2}+2$；(3)$4m^{2}+8m + 8 + 9n^{2}-12n= (2m + $
2
$)^{2}+(3n - $2
$)^{2}$.答案
(1) 4；
(2) $3m$；3；
(3) 2；2；
(2) $3m$；3；
(3) 2；2；
解析
(1) 对 $x^{2} + 6x + 5$ 进行配方，得：
$x^{2} + 6x + 5 = x^{2} + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^{2} - 4$
所以，空白处应填 $4$。
(2) 对 $9m^{2} - 18m + 11$ 进行配方，得：
$9m^{2} - 18m + 11 = 9m^{2} - 18m + 9 + 2 = (3m - 3)^{2} + 2$
根据题意，空白处应分别填 $3m$ 和 $3$。
(3) 对 $4m^{2} + 8m + 8 + 9n^{2} - 12n$ 进行配方，得：
$4m^{2} + 8m + 8 + 9n^{2} - 12n = 4m^{2} + 8m + 4 + 9n^{2} - 12n + 4 = (2m + 2)^{2} + (3n - 2)^{2}$
根据题意，空白处应分别填 $2$ 和 $2$。
$x^{2} + 6x + 5 = x^{2} + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^{2} - 4$
所以，空白处应填 $4$。
(2) 对 $9m^{2} - 18m + 11$ 进行配方，得：
$9m^{2} - 18m + 11 = 9m^{2} - 18m + 9 + 2 = (3m - 3)^{2} + 2$
根据题意，空白处应分别填 $3m$ 和 $3$。
(3) 对 $4m^{2} + 8m + 8 + 9n^{2} - 12n$ 进行配方，得：
$4m^{2} + 8m + 8 + 9n^{2} - 12n = 4m^{2} + 8m + 4 + 9n^{2} - 12n + 4 = (2m + 2)^{2} + (3n - 2)^{2}$
根据题意，空白处应分别填 $2$ 和 $2$。
4. 为了运用平方差公式计算$(a - b + c)(a + b - c)$,必须先适当变形,下列各变形中正确的是(
A.$[(a + c)-b][(a - c)+b]$
B.$[(a - b)+c][(a + b)-c]$
C.$[(b + c)-a][(b - c)+a]$
D.$[a-(b - c)][a+(b - c)]$
D
)A.$[(a + c)-b][(a - c)+b]$
B.$[(a - b)+c][(a + b)-c]$
C.$[(b + c)-a][(b - c)+a]$
D.$[a-(b - c)][a+(b - c)]$
答案
D
解析
要将表达式 $(a - b + c)(a + b - c)$ 变形以应用平方差公式，需要将其中一个括号内的项组合成类似 $(x - y)(x + y)$ 的形式。
观察选项D，原式可以变形为：
$[a - (b - c)][a + (b - c)]$，
这样就符合平方差公式的形式，即：
$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$，
其中 $x = a$，$y = b - c$。
其他选项无法直接应用平方差公式。
观察选项D，原式可以变形为：
$[a - (b - c)][a + (b - c)]$，
这样就符合平方差公式的形式，即：
$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$，
其中 $x = a$，$y = b - c$。
其他选项无法直接应用平方差公式。
5. 若$(2x + 3y)^{2}= (2x - 3y)^{2}+$( )成立,则括号内应该填的式子为(
A.$24xy$
B.$6xy$
C.$12xy$
D.$18xy$
A
)A.$24xy$
B.$6xy$
C.$12xy$
D.$18xy$
答案
A
解析
设括号内的式子为A，则有$(2x + 3y)^{2} - (2x - 3y)^{2} = A$。展开得$(4x^{2} + 12xy + 9y^{2}) - (4x^{2} - 12xy + 9y^{2}) = A$，化简得$24xy = A$。
6. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例. 如图,这个三角形的构造法则如下：两腰上的数都是$1$,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了$(a + b)^{n}$($n$为正整数)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律. 例如,三角形中第三行的三个数$1$,$2$,$1$,恰好对应$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$展开式中的系数；第四行的四个数$1$,$3$,$3$,$1$,恰好对应$(a + b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$展开式中的系数；等等.
(1)根据上面的规律,写出$(a + b)^{5}$的展开式；
(2)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$.
(1)根据上面的规律,写出$(a + b)^{5}$的展开式；
(2)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$.
答案
(1) $(a+b)^5=a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
(2) 由杨辉三角系数规律可知$a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5=(a - b)^5$，在$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$中$a = 2$，$b = 1$，则原式$=(2 - 1)^5=1$。
(2) 由杨辉三角系数规律可知$a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5=(a - b)^5$，在$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$中$a = 2$，$b = 1$，则原式$=(2 - 1)^5=1$。
