3. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分 10 元钱,每人分得若干；若再加上 6 人,平分 40 元钱,则第二次每人所得与第一次相同,求第一次分钱的人数. 设第一次分钱的人数为 $x$ 人,则可列方程 ()
A.$\frac{10}{x}= \frac{40}{x + 6}$
B.$\frac{10}{x}= \frac{40}{x - 6}$
C.$\frac{10}{x + 6}= \frac{40}{x}$
D.$\frac{10}{x - 6}= \frac{40}{x}$

A

设第一次分钱的人数为 $x$ 人，根据题意，第一次每人分得 $\frac{10}{x}$ 元。
加入 6 人后，总人数为 $x + 6$ 人，每人分得 $\frac{40}{x + 6}$ 元。
由于两次每人分得的钱相同，因此有 $\frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6}$。

4. 抗洪救灾期间,政府急需将一批医疗物资运往灾区,某车队打算用 $A$,$B$ 两种货车来运送这批医疗物资,已知 $A$ 货车比 $B$ 货车每辆多装 20 件医疗物资,且 $A$ 货车装运 1000 件医疗物资所用的车辆数与 $B$ 货车装运 800 件医疗物资所用的车辆数相等. 求 $A$,$B$ 两种货车每辆可装多少件医疗物资？

设 $B$ 货车每辆可装 $x$ 件医疗物资，则 $A$ 货车每辆可装 $x + 20$ 件医疗物资。
根据题意，$A$ 货车装运 $1000$ 件医疗物资所用的车辆数与 $B$ 货车装运 $800$ 件医疗物资所用的车辆数相等，可以列出方程：
$\frac{1000}{x + 20} = \frac{800}{x}$，
解这个方程，得到：
$1000x = 800(x + 20)$，
$1000x = 800x + 16000$，
$200x = 16000$，
$x = 80$，
经检验，$x = 80$ 是原方程的解，并且符合题意。
所以 $A$ 货车每辆可装 $x + 20 = 80 + 20 = 100(件)$。
答：$A$ 货车每辆可装 $100$ 件医疗物资，$B$ 货车每辆可装 $80$ 件医疗物资。

5. 有一块长为 57 米、宽为 30 米的长方形空地,现在中间挖一个长方形游泳池,若游泳池四周与空地边缘的距离相等,且游泳池宽与长的比是 1:2,求游泳池四周与空地边缘的距离是多少？设游泳池四周与空地边缘的距离是 $x$ 米,下列符合题意的方程是 ()
A.$\frac{30 - 2x}{57 - x}= \frac{1}{2}$
B.$\frac{30 - 2x}{57 - 2x}= \frac{1}{2}$
C.$\frac{30 + x}{57 + x}= \frac{1}{2}$
D.$\frac{30 + 2x}{57 + 2x}= \frac{1}{2}$

B

设游泳池四周与空地边缘的距离是 $x$ 米。则游泳池的长为空地长减去两倍距离，即 $57 - 2x$ 米，游泳池的宽为空地宽减去两倍距离，即 $30 - 2x$ 米。
根据题意，游泳池的宽与长的比是 $1:2$，所以可以列出方程：
$\frac{30 - 2x}{57 - 2x} = \frac{1}{2}$

6. (2024·吉林)从体育强国到健康中国,“带动 3 亿人参加冰雪运动”这一愿景已经成功实现,也直接推动了群众体育发展. 某中学组织八年级 360 名学生到滑雪场开展冬令营活动. 学校到某旅游公司租车,该公司现有 $A$,$B$ 两种车型,$A$ 型车与 $B$ 型车的座位数的比为 3:4；单独租用 $A$ 型车的数量比单独租用 $B$ 型车多 2 辆. 该公司 $A$,$B$ 两种车型各有多少个座位？

设A型车座位数为3x个，B型车座位数为4x个。
根据题意，单独租用A型车数量为$\frac{360}{3x}$辆，单独租用B型车数量为$\frac{360}{4x}$辆，且A型车数量比B型车多2辆，可列方程：
$\frac{360}{3x} - \frac{360}{4x} = 2$
化简得：$\frac{120}{x} - \frac{90}{x} = 2$
即：$\frac{30}{x} = 2$
解得：$x = 15$
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合题意。
A型车座位数：$3x = 3×15 = 45$（个）
B型车座位数：$4x = 4×15 = 60$（个）
答：A型车有45个座位，B型车有60个座位。

7. 一个圆柱形容器的容积为 $V$ m^3,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水,向容器中注满水的全过程共用时间 $t$ min. 则大、小两根水管的注水速度分别为 ()
A.$\frac{5V}{2t}$ m^3/min,$\frac{5V}{8t}$ m^3/min
B.$\frac{5V}{8t}$ m^3/min,$\frac{5V}{2t}$ m^3/min
C.$\frac{5V}{2t}$ m^3/min,$\frac{5V}{4t}$ m^3/min
D.$\frac{5V}{4t}$ m^3/min,$\frac{5V}{8t}$ m^3/min

A

设小水管的注水速度为 $v_1$（m³/min），大水管的注水速度为 $v_2$（m³/min）。
根据题意，大水管的口径为小水管的2倍，因此大水管的横截面积是小水管的4倍，所以大水管的注水速度是小水管的4倍，即 $v_2 = 4v_1$。
圆柱形容器的容积为 $V$，开始用小水管注水到容器高度的一半，即注水量为 $\frac{V}{2}$，所用时间为 $\frac{V}{2v_1}$。
之后用大水管注水注满剩余的 $\frac{V}{2}$，所用时间为 $\frac{V}{2v_2} = \frac{V}{8v_1}$（因为 $v_2 = 4v_1$）。
根据题意，全过程共用时间 $t$，所以：
$\frac{V}{2v_1} + \frac{V}{8v_1} = t$，
合并同类项得：
$\frac{5V}{8v_1} = t$，
从中解出 $v_1$：
$v_1 = \frac{5V}{8t}$，
再用 $v_2 = 4v_1$ 求出 $v_2$：
$v_2 = 4 × \frac{5V}{8t} = \frac{5V}{2t}$。
所以大水管的注水速度为 $\frac{5V}{2t}$ m³/min，小水管的注水速度为 $\frac{5V}{8t}$ m³/min。