3. 如图所示,在四边形ABCD中,已知∠BAD= 120°,BD= DC,AB+AD= AC。求证：AC平分∠BAD。

证明：在四边形ABCD中，已知∠BAD=120°，BD=DC，AB+AD=AC。
步骤1：构造全等三角形
将△ABD绕点D顺时针旋转，使DB与DC重合（∵BD=DC），得到△ECD。
∴△ABD≌△ECD（旋转性质），则AB=EC，AD=ED，∠BAD=∠CED=120°，∠ADB=∠EDC。
步骤2：等量代换与线段关系
∵AB+AD=AC，且AB=EC，AD=ED，
∴EC+ED=AC。
步骤3：证明E在AC上
连接AE，∵AD=ED，∴△ADE为等腰三角形。
∠CED=120°，若E在AC上，则∠DEC为△ADE的外角，设∠DAE=∠ADE=60°（等边三角形内角），则∠DEC=∠DAE+∠ADE=60°+60°=120°，与∠CED=120°一致，故E在AC上。
步骤4：证明△ADE为等边三角形
∵E在AC上，∴AE+EC=AC。又EC+ED=AC，∴AE=ED。
∵AD=ED，∴AE=AD=ED，即△ADE为等边三角形，∠DAE=60°，即∠CAD=60°。
步骤5：证明AC平分∠BAD
∵∠BAD=120°，∠CAD=60°，
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=120°-60°=60°。
∴∠BAC=∠CAD=60°，即AC平分∠BAD。
结论：AC平分∠BAD。

4. 如图所示,在△ABC中,∠ABC= 2∠C,AD是∠BAC的平分线。求证：AC= AB+BD。

在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。
在△ABD和△AED中，
∵AB=AE，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD=ED，∠ABD=∠AED。
∵∠ABC=2∠C，∠ABD=∠AED，
∴∠AED=2∠C。
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC。
∴2∠C=∠C+∠EDC，∴∠EDC=∠C。
∴ED=EC（等角对等边）。
∵BD=ED，∴EC=BD。
∵AC=AE+EC，AE=AB，EC=BD，
∴AC=AB+BD。

5. 如图所示,已知在△ABC中,AB的垂直平分线DM交BC于点D,垂足为M,点E为CD的中点,∠CAE= 25°,∠ACB= 65°。求证：BD= AC。

证明：
1. 在△AEC中，∠CAE=25°，∠ACE=∠ACB=65°，
∴∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=180°-25°-65°=90°，即AE⊥CD。
2. ∵E为CD中点，∴CE=DE，又AE⊥CD，
∴AE垂直平分CD，故AC=AD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
3. ∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
4. 由AC=AD且AD=BD，得BD=AC。
结论：BD=AC。