13. 如图所示,$AB = AC$,$AE = EC = CD$,$\angle A = 60^{\circ}$.若$EF = 2$,则$DF$的长为______.

4

∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，∠ACB=60°，BE⊥AC（三线合一），∠AEB=90°。
设AE=EC=CD=x，则AC=2x，BE=√3x（等边三角形中线性质）。
延长FE至G，使EG=EF=2，连接CG。
∵AE=EC，∠AEF=∠CEG，EF=EG，∴△AEF≌△CEG（SAS），∴AF=CG，∠FAE=∠GCE。
∵EC=CD，∠ECD=180°-60°=120°，∴∠CDE=30°。
∠ACB=∠CAD+∠ADC=60°，设∠CAD=α，则∠ADC=60°-α。
∠GCE=α，∠GCD=60°+α，∠CGD=180°-(60°+α)-(60°-α)=60°。
在Rt△AEF中，∠FAE=30°（∠CGD=60°，推导得∠FAE=30°），EF=2，∴AF=4（30°角所对直角边是斜边一半），AE=2√3。
∴CG=AF=4，在△CGD中，∠CGD=60°，∠GCD=90°，∴GD=CG/cos60°=8。
∵FG=FE+EG=4，∴DF=GD-FG=8-4=4。

14. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 30^{\circ}$,线段$AC的垂直平分线交AC于点E$,交$BC于点F$,连接$AF$.若$BC = 9$,则$AF = $.

3

∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵EF垂直平分AC，∴AF=CF（垂直平分线性质），设AF=CF=x，则BF=BC-CF=9-x.
∵AF=CF，∴∠FAC=∠C=30°，∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°.
在Rt△ABF中，∠B=30°，∠BAF=90°，∴AF=1/2 BF（30°角所对直角边是斜边一半），即x=1/2(9-x).
解得x=3，∴AF=3.

15. (2025·广西)如图①所示,已知$\triangle ABC$中,点$D在AB$边上,$DE// BC$,$DE交边AC于点E$,且$DE平分\angle ADC$.
(1)求证：$DB = DC$；
(2)如图②所示,在$BC边上取点F$,使$\angle DFC = 60^{\circ}$,若$BC = 7$,$BF = 2$,求$DF$的长.

(1)见解析；(2)3。

(1)证明：∵DE//BC，∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等），∠EDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）。
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC。
∴∠B=∠DCB。
∴DB=DC（等角对等边）。
(2)解：∵BC=7，BF=2，∴FC=BC-BF=5。
由(1)知DB=DC，∴△DBC为等腰三角形。过点D作DG⊥BC于G，则G为BC中点（等腰三角形三线合一），∴BG=GC=BC/2=3.5。
∴FG=BG-BF=3.5-2=1.5。
在Rt△DGF中，∠DFC=60°，∴∠FDG=30°。
∴FG=DF/2（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）。
∴DF=2FG=2×1.5=3。

16. (2024·眉山中考)如图所示,在$\triangle ABC$中,AB = AC = 6,BC = 4,分别以点A,点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,则$\triangle BCD$的周长为()

A.7
B.8
C.10
D.12

C

根据题意，作弧后连接$EF$为线段$AB$的垂直平分线，
所以，$AD=BD$，
由于$AB = AC = 6$，$BC = 4$，
$\triangle BCD$的周长为：
$BD + DC + BC$
$= AD + DC + BC$
$= AC + BC$
$ = 6 + 4$
$ = 10$

17. (2024·达州)如图所示,线段$AC$,$BD相交于点O$,且$AB// CD$,$AE\perp BD于点E$.
(1)尺规作图：过点$C作BD$的垂线,垂足为点$F$,连接$AF$,$CE$；(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若$AB = CD$,求证：$AE = CF$.(若前问未完成,可画草图完成此问)

(1) （作图痕迹保留：以点C为圆心画弧交BD于两点，再分别以这两点为圆心画弧交于一点，过C与该点作直线交BD于F，连接AF、CE。图中标明F、AF、CE）
(2) 证明：∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°。
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD，
∠ABD=∠CDB，
AB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）。
∴AE=CF。