8. (数学文化)为了书写简便,数学家欧拉引进了求和符号“$\sum$”,如记$1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + n = \sum_{k = 1}^{n}k$,$(x + 3) + (x + 4) + … + (x + n) = \sum_{k = 3}^{n}(x + k)$. 已知$\sum_{k = 3}^{n}[x(x + k)] = 9x^{2} + mx$,则$m$的值是()
A.$45$
B.$63$
C.$54$
D.不确定

B

$\sum_{k=3}^{n}[x(x + k)] = \sum_{k=3}^{n}(x^2 + kx) = \sum_{k=3}^{n}x^2 + \sum_{k=3}^{n}kx$。
对于$\sum_{k=3}^{n}x^2$：共$(n - 3 + 1) = n - 2$项，故$\sum_{k=3}^{n}x^2 = (n - 2)x^2$。
对于$\sum_{k=3}^{n}kx$：提取$x$得$x\sum_{k=3}^{n}k$，$\sum_{k=3}^{n}k = \frac{n(n + 1)}{2} - (1 + 2) = \frac{n(n + 1)}{2} - 3$，故$\sum_{k=3}^{n}kx = x\left(\frac{n(n + 1)}{2} - 3\right)$。
综上，原式$=(n - 2)x^2 + x\left(\frac{n(n + 1)}{2} - 3\right)$。
已知原式$=9x^2 + mx$，则$n - 2 = 9\Rightarrow n = 11$。
代入$n = 11$，$x$的系数$m = \frac{11×12}{2} - 3 = 66 - 3 = 63$。

多项式乘多项式：$(a + b)(p + q) = $.
思考 ①多项式乘法法则,可以推广到三项及三项以上的多项式相乘吗？②多项式乘多项式,展开后(合并前)如何确定项数？
填空 (1)$(a + 1)(b + 3) = $；(2)$(2x - 1)(x + 4) = $.

【解析】：
根据多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
1. $(a + b)(p + q)$
$=a× p+a× q+b× p+b× q$
$=ap + aq + bp + bq$
2.思考：
①多项式乘法法则可以推广到三项及三项以上多项式相乘，只要依次用一项去乘其他多项式即可。
②多项式乘多项式，展开后（合并前）的项数为两个多项式项数的乘积。
3. (1) $(a + 1)(b + 3)$
$=a× b+a×3 + 1× b+1×3$
$=ab + 3a + b + 3$
(2) $(2x - 1)(x + 4)$
$=2x× x+2x×4+(-1)× x+(-1)×4$
$=2x^{2}+8x - x - 4$
$=2x^{2}+7x - 4$
【答案】：
$ap + aq + bp + bq$；
思考答案：①可以；②两个多项式项数的乘积；
(1)$ab + 3a + b + 3$；(2)$2x^{2}+7x - 4$。

例1 计算：
(1)$(a + 2)(2a + 1)$；
(2)$(a - 2)(2a - 3)$；
(3)$(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$.
名师导引 多项式的每一项都包括它前面的符号,在计算时要注意先确定乘积中各项的符号,如果结果中有同类项一定要合并.

(1)
$\begin{aligned}&(a + 2)(2a + 1)\\=&a×(2a)+a×1+2×(2a)+2×1\\=&2a^{2}+a + 4a+2\\=&2a^{2}+5a + 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a - 2)(2a - 3)\\=&a×(2a)+a×(-3)-2×(2a)-2×(-3)\\=&2a^{2}-3a-4a + 6\\=&2a^{2}-7a+6\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})\\=&a× a^{2}+a×(-ab)+a× b^{2}+b× a^{2}+b×(-ab)+b× b^{2}\\=&a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b - ab^{2}+b^{3}\\=&a^{3}+b^{3}\end{aligned}$

变式训练 计算：
(1)$(3m - 5)(m + 2) = $；(2)$(a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = $.

(1)$3m^{2} + m - 10$
(2)$a^{3} - b^{3}$

(1) 使用多项式乘多项式的法则，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再将得到的积相加。
$(3m - 5)(m + 2) = 3m \cdot m + 3m \cdot 2 - 5 \cdot m - 5 \cdot 2 = 3m^{2} + 6m - 5m - 10 = 3m^{2} + m - 10$
(2) 同样使用多项式乘多项式的法则，
$(a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a \cdot a^{2} + a \cdot ab + a \cdot b^{2} - b \cdot a^{2} - b \cdot ab - b \cdot b^{2} = a^{3} + a^{2}b + ab^{2} - a^{2}b - ab^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3}$

例2 若$(mx + y)(x - 3y) = 2x^{2} + nxy - 3y^{2}$,求$n^{m}$的值.
名师导引 含字母系数的多项式相乘时,应把这个字母看作常数；整式的乘法运算是恒等变形的过程,本题可用恒等式的性质求出$m$,$n$的值.

$25$。

1. 首先将左边的式子展开：
$(mx + y)(x - 3y)=mx× x-mx×3y + y× x-y×3y$
$=mx^{2}-3mxy+xy - 3y^{2}=mx^{2}+(1 - 3m)xy-3y^{2}$。
2. 然后根据等式$(mx + y)(x - 3y)=2x^{2}+nxy - 3y^{2}$，可得：
对于二次项系数：$m = 2$。
对于一次项系数：$1-3m=n$。
把$m = 2$代入$1-3m=n$，则$n=1-3×2=1 - 6=-5$。
3. 最后计算$n^{m}$的值：
把$m = 2$，$n=-5$代入$n^{m}$，得$(-5)^{2}=25$。

变式训练 已知$(x^{2} + mx - 3)(2x + n)的展开式中不含x$的一次项,常数项是$-6$.
(1)求$m$,$n$的值；
(2)化简求值：$(m + n)(m^{2} - mn + n^{2})$.

(1) 展开$(x^{2} + mx - 3)(2x + n)$：
$\begin{aligned}&x^{2}\cdot2x + x^{2}\cdot n + mx\cdot2x + mx\cdot n - 3\cdot2x - 3\cdot n\\=&2x^{3} + nx^{2} + 2mx^{2} + mnx - 6x - 3n\\=&2x^{3} + (n + 2m)x^{2} + (mn - 6)x - 3n\end{aligned}$
由常数项是$-6$，得$-3n = -6$，解得$n = 2$。
由不含$x$的一次项，得$mn - 6 = 0$，将$n = 2$代入，得$2m - 6 = 0$，解得$m = 3$。
(2) $(m + n)(m^{2} - mn + n^{2})$，将$m = 3$，$n = 2$代入：
$\begin{aligned}&(3 + 2)(3^{2} - 3×2 + 2^{2})\\=&5×(9 - 6 + 4)\\=&5×7\\=&35\end{aligned}$
(1) $m = 3$，$n = 2$；(2) $35$

1. 计算$(x - 1)(2x + 1)$的结果是()
A.$2x^{2} + x - 1$
B.$2x^{2} - x - 1$
C.$2x^{2} + 1$
D.$2x^{2} + 3x - 1$

B

使用多项式乘法的分配法则，即每个项分别相乘：
$(x - 1)(2x + 1) = x \cdot 2x + x \cdot 1 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 1$
$= 2x^2 + x - 2x - 1$
$= 2x^2 - x - 1$

2. 若$(x - 1)(x + 3) = x^{2} + mx + n$,则$m + n = $()
A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$2$

A

首先展开左边的表达式：
$(x - 1)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 1 \cdot x - 1 \cdot 3 = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$，
与右边的表达式$x^2 + mx + n$对比，可得：
$m = 2$，$n = -3$，
因此，$m + n = 2 + (-3) = -1$。