4. (1)若$x^{m}= 6,y^{m}= -3$,则$(xy)^{m}=$；
(2)若$x^{n}= 3,y^{2n}= 4$,则$(xy^{2})^{2n}=$；
(3)若$A^{3}= -27a^{6}b^{9}$,则$A=$；
(4)若$(-x^{2}A)^{3}= x^{6}y^{9}$,则$A=$。

(1) -18
(2) 144
(3) $-3a^{2}b^{3}$
(4) $-y^{3}$

(1) 根据积的乘方性质，$(xy)^{m} = x^{m} \cdot y^{m}$，代入$x^{m} = 6$，$y^{m} = -3$，得$(xy)^{m} = 6 × (-3) = -18$。
(2) 根据积的乘方和幂的乘方性质，$(xy^{2})^{2n} = x^{2n} \cdot (y^{2})^{2n} = (x^{n})^{2} \cdot y^{4n} = (x^{n})^{2} \cdot (y^{2n})^{2}$，代入$x^{n} = 3$，$y^{2n} = 4$，得$(xy^{2})^{2n} = 3^{2} × 4^{2} = 144$。
(3) 根据立方根的定义，$A^{3} = -27a^{6}b^{9}$，则$A = \sqrt[3]{-27a^{6}b^{9}} = -3a^{2}b^{3}$。
(4) 根据幂的乘方和积的乘方性质，$(-x^{2}A)^{3} = -x^{6}A^{3} = x^{6}y^{9}$，则$A^{3} = -y^{9}$，所以$A = -y^{3}$的相反数的立方根的相反数（考虑到奇数次幂的符号不变性，直接得）$A = -y^{3}$（因为$(-y^3)^3 = -y^9$，与等式右侧相符）。

5. 计算：
(1)$(-4xy^{2})^{3}$；
(2)$(-2a^{3}b^{2})^{2}-3a^{6}b^{4}$；
(3)$(-3a^{3})^{2}·a^{3}+(-4a)^{2}·a^{7}-(5a^{3})^{3}$。

(1)
$\begin{aligned}(-4xy^{2})^{3} &= (-4)^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{2})^{3} \\&= -64x^{3}y^{6}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(-2a^{3}b^{2})^{2}-3a^{6}b^{4} &= 4a^{6}b^{4} - 3a^{6}b^{4} \\&= a^{6}b^{4}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(-3a^{3})^{2} \cdot a^{3}+(-4a)^{2} \cdot a^{7}-(5a^{3})^{3} &= 9a^{6} \cdot a^{3} + 16a^{2} \cdot a^{7} - 125a^{9} \\&= 9a^{9} + 16a^{9} - 125a^{9} \\&= -100a^{9}\end{aligned}$

6. 计算：
(1)$(-0.2)^{2025}×5^{2026}$；
(2)$(-1\frac{7}{9})^{5}×(\frac{3}{8})^{5}×(-\frac{3}{2})^{6}$。

(1) $-5$；(2) $-\frac{3}{2}$

(1) $(-0.2)^{2025} × 5^{2026}$
$=(-0.2)^{2025} × 5^{2025} × 5$
$=[(-0.2) × 5]^{2025} × 5$
$=(-1)^{2025} × 5$
$=-1 × 5$
$=-5$
(2) $(-1\frac{7}{9})^{5} × (\frac{3}{8})^{5} × (-\frac{3}{2})^{6}$
$=(-\frac{16}{9})^{5} × (\frac{3}{8})^{5} × (-\frac{3}{2})^{6}$
$=(-\frac{16}{9})^{5} × (\frac{3}{8})^{5} × (-\frac{3}{2})^{5} × (-\frac{3}{2})$
$=[(-\frac{16}{9}) × \frac{3}{8} × (-\frac{3}{2})]^{5} × (-\frac{3}{2})$
$=[\frac{16 × 3 × 3}{9 × 8 × 2}]^{5} × (-\frac{3}{2})$
$=1^{5} × (-\frac{3}{2})$
$=-\frac{3}{2}$

7. 规定$a,b两数之间的一种运算(a,b)$为：如果$a^{c}= b$,那么$(a,b)= c$。例如：$\because 2^{3}= 8,\therefore (2,8)= 3$。
(1)根据上述规定,填空：$(3,27)=$,$(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=$。

(1) 3；2

(1) 根据定义，需要找到一个数$c$，使得$3^c = 27$。
由于$3^3 = 27$，所以$(3,27) = 3$。
接着，需要找到一个数$c$，使得$\left(\frac{1}{2}\right)^c = \frac{1}{4}$，
由于$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$，所以$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right) = 2$。

(2)小明在研究这种运算时,发现$(3^{n},4^{n})= (3,4)$,他给出了以下理由：
设$(3^{n},4^{n})= x$,则$(3^{n})^{x}= 4^{n}$,即$(3^{x})^{n}= 4^{n},\therefore 3^{x}= 4$,即$(3,4)= x$,
$\therefore (3^{n},4^{n})= (3,4)$。
请你尝试运用上述方法判断$(3,4)+(3,5)= (3,20)$是否成立,并说明理由。

设$(3,4)=m$，则$3^m=4$；设$(3,5)=n$，则$3^n=5$。
左边$=m+n$。
设$(3,20)=p$，则$3^p=20$。
因为$3^{m+n}=3^m \cdot 3^n=4×5=20$，所以$3^{m+n}=3^p$，即$m+n=p$。
因此，$(3,4)+(3,5)=(3,20)$成立。

单项式乘法法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的作为积的一个因式.
思考 单项式乘法法则的依据是什么?
填空 $3x^{2}\cdot 4x^{3}=$;$3x\cdot (-2xy)^{2}=$.

指数；乘法交换律、结合律以及同底数幂的乘法法则；$12x^{5}$；$12x^{3}y^{2}$

指数；依据是乘法交换律、结合律以及同底数幂的乘法法则；$3x^{2}\cdot 4x^{3}=(3×4)\cdot(x^{2}\cdot x^{3})=12x^{5}$；$3x\cdot (-2xy)^{2}=3x\cdot4x^{2}y^{2}=(3×4)\cdot(x\cdot x^{2})\cdot y^{2}=12x^{3}y^{2}$

例1 计算:
(1)$(-3a^{2}b)(-5a)$;
(2)$\frac{3}{4}a^{2}bc\cdot (-\frac{2}{3}ab^{2})$;
(3)$(2a)^{2}(-3ab^{3})$;
(4)$-6m^{2}(x - y)^{3}\cdot \frac{1}{3}m(y - x)^{2}$.

(1)
$(-3a^{2}b)(-5a)$
$ = (-3×(-5))×(a^{2}\cdot a)× b$
$ = 15a^{3}b$
(2)
$\frac{3}{4}a^{2}bc\cdot (-\frac{2}{3}ab^{2})$
$ = [\frac{3}{4}×(-\frac{2}{3})]×(a^{2}\cdot a)×(b\cdot b^{2})× c$
$ = -\frac{1}{2}a^{3}b^{3}c$
(3)
$(2a)^{2}(-3ab^{3})$
$ = 4a^{2}\cdot(-3ab^{3})$
$ = [4×(-3)]×(a^{2}\cdot a)× b^{3}$
$ = -12a^{3}b^{3}$
(4)
因为$(y - x)^{2}=(x - y)^{2}$，
所以$-6m^{2}(x - y)^{3}\cdot \frac{1}{3}m(y - x)^{2}$
$ = -6m^{2}(x - y)^{3}\cdot\frac{1}{3}m(x - y)^{2}$
$ = [-6×\frac{1}{3}]×(m^{2}\cdot m)×[(x - y)^{3}\cdot(x - y)^{2}]$
$ = -2m^{3}(x - y)^{5}$