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6. 老师书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个多项式,如下图：
(1)求捂住的多项式；
(2)若$ x = \frac{2}{3} $,$ y = \frac{1}{2} $,求捂住部分的值。
(1)求捂住的多项式；
(2)若$ x = \frac{2}{3} $,$ y = \frac{1}{2} $,求捂住部分的值。
答案
(1)设捂住的多项式为$A$，由题意得$A×(-\frac{1}{2}xy)=3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy$，则$A=(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy)÷(-\frac{1}{2}xy)$。
$\begin{aligned}A&=3x^2y÷(-\frac{1}{2}xy)-xy^2÷(-\frac{1}{2}xy)+\frac{1}{2}xy÷(-\frac{1}{2}xy)\\&=3×(-2)x + (-1)×(-2)y + \frac{1}{2}×(-2)\\&=-6x + 2y - 1\end{aligned}$
(2)当$x = \frac{2}{3}$，$y = \frac{1}{2}$时，
$\begin{aligned}-6x + 2y - 1&=-6×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{2}-1\\&=-4 + 1 - 1\\&=-4\end{aligned}$
(1)被捂住的多项式为$-6x + 2y - 1$；(2)该多项式的值为$-4$。
$\begin{aligned}A&=3x^2y÷(-\frac{1}{2}xy)-xy^2÷(-\frac{1}{2}xy)+\frac{1}{2}xy÷(-\frac{1}{2}xy)\\&=3×(-2)x + (-1)×(-2)y + \frac{1}{2}×(-2)\\&=-6x + 2y - 1\end{aligned}$
(2)当$x = \frac{2}{3}$，$y = \frac{1}{2}$时，
$\begin{aligned}-6x + 2y - 1&=-6×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{2}-1\\&=-4 + 1 - 1\\&=-4\end{aligned}$
(1)被捂住的多项式为$-6x + 2y - 1$；(2)该多项式的值为$-4$。
7. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式,那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们可以用竖式进行类似演算,即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小排列,并把所缺的项用零补齐,再类比数的竖式除法求出商式和余式,其中余式为0或余式的次数低于除式的次数。
例：计算$ (8x^{2} + 6x + 1) ÷ (2x + 1) $,可依照$ 672 ÷ 21 $的计算方法用竖式进行计算。
因此$ (8x^{2} + 6x + 1) ÷ (2x + 1) = 4x + 1 $。
(1)$ (2x^{2} + 3x - 9) ÷ (x + 3) = $
(2)$ (x^{3} + 4x^{2} + 5x - 6) ÷ (x + 2) $的商是
(3)已知一个长为$ (x + 2) $,宽为$ (x - 2) $的长方形 A ,若将它的长增加6,宽增加$ a $就得到一个新长方形 B ,且长方形$ B $的周长是 A 的2倍(如图)。另有一个长方形$ C $的一边长为$ (x + 10) $,其面积比$ B $的面积小76,求长方形$ C $的另一边长(用含$ x $的代数式表示)。
例：计算$ (8x^{2} + 6x + 1) ÷ (2x + 1) $,可依照$ 672 ÷ 21 $的计算方法用竖式进行计算。
因此$ (8x^{2} + 6x + 1) ÷ (2x + 1) = 4x + 1 $。
(1)$ (2x^{2} + 3x - 9) ÷ (x + 3) = $
$2x - 3$
；(2)$ (x^{3} + 4x^{2} + 5x - 6) ÷ (x + 2) $的商是
$x^2 + 2x + 1$
,余式是$-8$
；(3)已知一个长为$ (x + 2) $,宽为$ (x - 2) $的长方形 A ,若将它的长增加6,宽增加$ a $就得到一个新长方形 B ,且长方形$ B $的周长是 A 的2倍(如图)。另有一个长方形$ C $的一边长为$ (x + 10) $,其面积比$ B $的面积小76,求长方形$ C $的另一边长(用含$ x $的代数式表示)。
$3x - 14$
答案
(1)$2x - 3$；(2)$x^2 + 2x + 1$，$-8$；(3)$3x - 14$
解析
(1) 用竖式计算多项式除法：被除式$2x^2 + 3x - 9$，除式$x + 3$。
最高次项$2x^2÷ x = 2x$，商第一项为$2x$；
$2x(x + 3) = 2x^2 + 6x$，作差：$(2x^2 + 3x - 9)-(2x^2 + 6x) = -3x - 9$；
$-3x÷ x=-3$，商第二项为$-3$；
$-3(x + 3) = -3x - 9$，作差得$0$。
故商为$2x - 3$。
(2) 用竖式计算多项式除法：被除式$x^3 + 4x^2 + 5x - 6$，除式$x + 2$。
最高次项$x^3÷ x = x^2$，商第一项为$x^2$；
$x^2(x + 2) = x^3 + 2x^2$，作差：$(x^3 + 4x^2 + 5x - 6)-(x^3 + 2x^2) = 2x^2 + 5x - 6$；
$2x^2÷ x = 2x$，商第二项为$2x$；
$2x(x + 2) = 2x^2 + 4x$，作差：$(2x^2 + 5x - 6)-(2x^2 + 4x) = x - 6$；
$x÷ x = 1$，商第三项为$1$；
$1(x + 2) = x + 2$，作差：$(x - 6)-(x + 2) = -8$。
故商是$x^2 + 2x + 1$，余式是$-8$。
(3) ① 长方形$A$周长：$2[(x + 2)+(x - 2)] = 4x$，则长方形$B$周长为$2×4x = 8x$。
② $B$的长为$(x + 2)+6 = x + 8$，宽为$(x - 2)+a$，周长$2[(x + 8)+(x - 2 + a)] = 8x$，解得$a = 2x - 6$。
③ $B$的宽为$(x - 2)+(2x - 6)=3x - 8$，面积为$(x + 8)(3x - 8)=3x^2 + 16x - 64$。
④ 长方形$C$面积为$3x^2 + 16x - 64 - 76 = 3x^2 + 16x - 140$，另一边长为$(3x^2 + 16x - 140)÷(x + 10)=3x - 14$。
最高次项$2x^2÷ x = 2x$，商第一项为$2x$；
$2x(x + 3) = 2x^2 + 6x$，作差：$(2x^2 + 3x - 9)-(2x^2 + 6x) = -3x - 9$；
$-3x÷ x=-3$，商第二项为$-3$；
$-3(x + 3) = -3x - 9$，作差得$0$。
故商为$2x - 3$。
(2) 用竖式计算多项式除法：被除式$x^3 + 4x^2 + 5x - 6$，除式$x + 2$。
最高次项$x^3÷ x = x^2$，商第一项为$x^2$；
$x^2(x + 2) = x^3 + 2x^2$，作差：$(x^3 + 4x^2 + 5x - 6)-(x^3 + 2x^2) = 2x^2 + 5x - 6$；
$2x^2÷ x = 2x$，商第二项为$2x$；
$2x(x + 2) = 2x^2 + 4x$，作差：$(2x^2 + 5x - 6)-(2x^2 + 4x) = x - 6$；
$x÷ x = 1$，商第三项为$1$；
$1(x + 2) = x + 2$，作差：$(x - 6)-(x + 2) = -8$。
故商是$x^2 + 2x + 1$，余式是$-8$。
(3) ① 长方形$A$周长：$2[(x + 2)+(x - 2)] = 4x$，则长方形$B$周长为$2×4x = 8x$。
② $B$的长为$(x + 2)+6 = x + 8$，宽为$(x - 2)+a$，周长$2[(x + 8)+(x - 2 + a)] = 8x$，解得$a = 2x - 6$。
③ $B$的宽为$(x - 2)+(2x - 6)=3x - 8$，面积为$(x + 8)(3x - 8)=3x^2 + 16x - 64$。
④ 长方形$C$面积为$3x^2 + 16x - 64 - 76 = 3x^2 + 16x - 140$，另一边长为$(3x^2 + 16x - 140)÷(x + 10)=3x - 14$。
8. 观察下列等式：$ (x^{2} - 1) ÷ (x - 1) = x + 1 $,$ (x^{3} - 1) ÷ (x - 1) = x^{2} + x + 1 $,$ (x^{4} - 1) ÷ (x - 1) = x^{3} + x^{2} + x + 1 $。
(1)根据以上等式写出$ (x^{5} - 1) ÷ (x - 1) $的结果
(2)直接写出$ (x^{n} - 1) ÷ (x - 1) $的结果($ n $为正整数)
(3)计算：$ 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + … + 2^{2024} $。
(1)根据以上等式写出$ (x^{5} - 1) ÷ (x - 1) $的结果
$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$
；(2)直接写出$ (x^{n} - 1) ÷ (x - 1) $的结果($ n $为正整数)
$x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1$
；(3)计算：$ 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + … + 2^{2024} $。
$2^{2025}-1$
答案
(1)
根据已知等式规律可得：$(x^{5} - 1)÷(x - 1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$。
(2)
$(x^{n}-1)÷(x - 1)=x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1$。
(3)
由$(x^{n}-1)÷(x - 1)=x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1$，令$x = 2$，$n=2025$。
则$1 + 2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024}=(2^{2025}-1)÷(2 - 1)=2^{2025}-1$。
综上，答案依次为：(1)$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$；(2)$x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1$；(3)$2^{2025}-1$。
根据已知等式规律可得：$(x^{5} - 1)÷(x - 1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$。
(2)
$(x^{n}-1)÷(x - 1)=x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1$。
(3)
由$(x^{n}-1)÷(x - 1)=x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1$，令$x = 2$，$n=2025$。
则$1 + 2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024}=(2^{2025}-1)÷(2 - 1)=2^{2025}-1$。
综上，答案依次为：(1)$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$；(2)$x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1$；(3)$2^{2025}-1$。
平方差公式：$(a + b)(a - b) = $
思考 ①公式中的$a$,$b$只能表示数吗？
②你能归纳出公式的结构特点吗？
填空(1)$(xy + 3)(xy - 3) = ($
(2)$123^{2} - 122×124 = $
$a^2 - b^2$
.思考 ①公式中的$a$,$b$只能表示数吗？
②你能归纳出公式的结构特点吗？
填空(1)$(xy + 3)(xy - 3) = ($
$xy$
$)^{2} - ($$3$
$)^{2}$；(2)$123^{2} - 122×124 = $
$1$
.答案
平方差公式：$a^2 - b^2$；
(1) $xy$；$3$；
(2) $1$。
(1) $xy$；$3$；
(2) $1$。
解析
平方差公式： $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
思考：
① 公式中的 $a$ 和 $b$ 可以表示数，也可以表示其他代数形式（如多项式、单项式等）。
② 公式结构特点：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果等于相同项的平方减去相反项的平方。
填空：
(1) 根据平方差公式， $(xy + 3)(xy - 3) = (xy)^2 - 3^2$，
所以，答案为：$xy$；$3$。
(2) $123^2 - 122 × 124$
$= 123^2 - (123 - 1)(123 + 1)$
$= 123^2 - (123^2 - 1^2)$
$= 123^2 - 123^2 + 1^2$
$= 1$
所以，答案为：$1$。
思考：
① 公式中的 $a$ 和 $b$ 可以表示数，也可以表示其他代数形式（如多项式、单项式等）。
② 公式结构特点：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果等于相同项的平方减去相反项的平方。
填空：
(1) 根据平方差公式， $(xy + 3)(xy - 3) = (xy)^2 - 3^2$，
所以，答案为：$xy$；$3$。
(2) $123^2 - 122 × 124$
$= 123^2 - (123 - 1)(123 + 1)$
$= 123^2 - (123^2 - 1^2)$
$= 123^2 - 123^2 + 1^2$
$= 1$
所以，答案为：$1$。
例 1 计算：
(1)$(m + 2)(m - 2)$；
(2)$(-m + 2)(-m - 2)$；
(3)$(m - 2)(-m - 2)$；
(4)$(m + 2)(-m + 2)$.
名师导引 应用公式的关键在于掌握应用的条件：两项乘两项,一项相同,另一项是相反数.
变式训练 计算：
(1)$(2 - 3x)(2 + 3x)$；(2)$(-2 - 3x)(2 - 3x)$.
(1)$(m + 2)(m - 2)$；
(2)$(-m + 2)(-m - 2)$；
(3)$(m - 2)(-m - 2)$；
(4)$(m + 2)(-m + 2)$.
名师导引 应用公式的关键在于掌握应用的条件：两项乘两项,一项相同,另一项是相反数.
变式训练 计算：
(1)$(2 - 3x)(2 + 3x)$；(2)$(-2 - 3x)(2 - 3x)$.
答案
例1
- **$(1)(m + 2)(m - 2)$
解：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a = m$，$b = 2$。
$(m + 2)(m - 2)=m^2-2^2=m^2 - 4$。
- **$(2)(-m + 2)(-m - 2)$
解：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a=-m$，$b = 2$。
$(-m + 2)(-m - 2)=(-m)^2-2^2=m^2 - 4$。
- **$(3)(m - 2)(-m - 2)$
解：将$(m - 2)(-m - 2)$变形为$(-2 + m)(-2 - m)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a=-2$，$b = m$。
$(m - 2)(-m - 2)=(-2)^2-m^2=4 - m^2$。
- **$(4)(m + 2)(-m + 2)$
解：将$(m + 2)(-m + 2)$变形为$(2 + m)(2 - m)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a = 2$，$b = m$。
$(m + 2)(-m + 2)=2^2-m^2=4 - m^2$。
变式训练
- **$(1)(2 - 3x)(2 + 3x)$
解：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a = 2$，$b = 3x$。
$(2 - 3x)(2 + 3x)=2^2-(3x)^2=4 - 9x^2$。
- **$(2)(-2 - 3x)(2 - 3x)$
解：将$(-2 - 3x)(2 - 3x)$变形为$(-3x - 2)(-3x + 2)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a=-3x$，$b = 2$。
$(-2 - 3x)(2 - 3x)=(-3x)^2-2^2=9x^2 - 4$。
综上，例1答案依次为$m^2 - 4$；$m^2 - 4$；$4 - m^2$；$4 - m^2$；变式训练答案依次为$\boldsymbol{4 - 9x^2}$；$\boldsymbol{9x^2 - 4}$。
- **$(1)(m + 2)(m - 2)$
解：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a = m$，$b = 2$。
$(m + 2)(m - 2)=m^2-2^2=m^2 - 4$。
- **$(2)(-m + 2)(-m - 2)$
解：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a=-m$，$b = 2$。
$(-m + 2)(-m - 2)=(-m)^2-2^2=m^2 - 4$。
- **$(3)(m - 2)(-m - 2)$
解：将$(m - 2)(-m - 2)$变形为$(-2 + m)(-2 - m)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a=-2$，$b = m$。
$(m - 2)(-m - 2)=(-2)^2-m^2=4 - m^2$。
- **$(4)(m + 2)(-m + 2)$
解：将$(m + 2)(-m + 2)$变形为$(2 + m)(2 - m)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a = 2$，$b = m$。
$(m + 2)(-m + 2)=2^2-m^2=4 - m^2$。
变式训练
- **$(1)(2 - 3x)(2 + 3x)$
解：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a = 2$，$b = 3x$。
$(2 - 3x)(2 + 3x)=2^2-(3x)^2=4 - 9x^2$。
- **$(2)(-2 - 3x)(2 - 3x)$
解：将$(-2 - 3x)(2 - 3x)$变形为$(-3x - 2)(-3x + 2)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$a=-3x$，$b = 2$。
$(-2 - 3x)(2 - 3x)=(-3x)^2-2^2=9x^2 - 4$。
综上，例1答案依次为$m^2 - 4$；$m^2 - 4$；$4 - m^2$；$4 - m^2$；变式训练答案依次为$\boldsymbol{4 - 9x^2}$；$\boldsymbol{9x^2 - 4}$。
